1) Vamos avaliar o limite de $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}$ quando $x\to 0$

ⓘ O limite de um produto com limites finitos é o produto dos limites

O limite de $2x$ é $2·0$ quando $x\to 0$

⇥1.1) Vamos avaliar: $2·0$

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo: $2·0$ = $0$

⇥ $0$

ⓘ A função sin é contínua: o seu limite é o seu valor no limite do argumento

O limite de $\sin \left(2x\right)$ é $\sin \left(0\right)$ quando $x\to 0$

⇥1.2) Vamos calcular: $\sin \left(0\right)$

⇥ⓘ O seno corresponde à ordenada (eixo vertical) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de $0$ radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável: $\sin \left(0\right)$ = $0$

⇥ $0$

Para $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}$, obtemos a forma indeterminada 0/0 quando $x$ tende para $0$

2) Procuramos um desenvolvimento limitado da expressão: $\sin \left(2x\right)$

Utilizando a fórmula de Taylor $\sin \left(A\right)+\cos \left(A\right)·(X-A)$ da função sin, calculamos o desenvolvimento limitado para X=$2x$ no ponto A=$0$ de ordem N=1

$\sin \left(0\right)+\cos \left(0\right)·(2x+0)$

ⓘ O seno corresponde à ordenada (eixo vertical) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de $0$ radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável: $\sin \left(0\right)$ = $0$■O cosseno corresponde à abcissa (eixo horizontal) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de $0$ radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável: $\cos \left(0\right)$ = $1$■Somar 0 não altera o valor: $2x+0$ = $2x$■Multiplicar por 1 não altera o valor: $1·2x$ = $2x$

$0+2x$

3) Repetimos o cálculo utilizando o desenvolvimento de Taylor: $2x$

$\frac{2x}{x}$

ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum $x$: $\frac{2x}{x}$ = $2$

$2$

Portanto, o limite de $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}$ é $2$ quando $x\to 0$

▶Limite:   $2$