limite x->0 tan(x)/x — solução passo a passo

1) Vamos avaliar o limite de

\frac{\tan (x)}{x}

quando

x \to 0

ⓘ A função tan é contínua: o seu limite é o seu valor no limite do argumento

O limite de

\tan (x)

\tan (0)

quando

x \to 0

Vamos avaliar:

\tan (0)

ⓘ A tangente é o quociente entre a ordenada (eixo vertical) e a abcissa (eixo horizontal) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

0

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, desde que a abcissa não seja nula, é um valor notável:

\tan (0)

0

0

Para

\frac{\tan (x)}{x}

, obtemos a forma indeterminada 0/0 quando

x

tende para

0

2) Procuramos um desenvolvimento limitado da expressão:

\tan (x)

Utilizando a fórmula de Taylor

\tan (A) + (1 + {\tan (A)}^{2}) \cdot (X - A)

da função tan, calculamos o desenvolvimento limitado para X=

x

no ponto A=

0

de ordem N=1

\tan (0) + (1 + {\tan (0)}^{2}) \cdot (x + 0)

ⓘ A tangente é o quociente entre a ordenada (eixo vertical) e a abcissa (eixo horizontal) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

0

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, desde que a abcissa não seja nula, é um valor notável:

\tan (0)

0

■Somar 0 não altera o valor:

x + 0

x

0 + (1 + 0^{2}) \cdot x

3) Repetimos o cálculo utilizando o desenvolvimento de Taylor:

x

\frac{x}{x}

ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x

\frac{x}{x}

1

1

Portanto, o limite de

\frac{\tan (x)}{x}

1

quando

x \to 0

▶Limite:

1