limite x->0+ x^{20x} — solução passo a passo

⚠ x^{20x} é interpretado como x^(20x): utilize ^(...) para agrupar um expoente, utilize * para multiplicar

1) Vamos avaliar o limite de

x^{20 x}

quando

x \to 0

⁺

ⓘ O limite de um produto com limites finitos é o produto dos limites

O limite de

20 x

é (

20 \cdot 0

)⁺ quando

x \to 0

⁺

Vamos avaliar:

20 \cdot 0

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

20 \cdot 0

0

0

Para

x^{20 x}

, obtemos a forma indeterminada

0^{0}

quando

x

tende para

0

Para uma base positiva, reescrevemos

x^{20 x}

como

\exp (20 x \cdot \ln (x))

e estudamos o limite de

20 x \cdot \ln (x)

ⓘ É um limite conhecido da função ln

O limite de

\ln (x)

-∞

quando

x \to 0

⁺

Para

20 x \cdot \ln (x)

, obtemos a forma indeterminada

0 \cdot -∞

quando

x

tende para

0

2) Para resolver a indeterminação 0 × ∞, reescrevemos o produto

20 x \cdot \ln (x)

como o quociente

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{20 x}}

ⓘ Um número não nulo dividido por uma quantidade que tende para 0 torna-se infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

O limite de

\frac{1}{20 x}

+∞

quando

x \to 0

⁺

Para

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{20 x}}

, obtemos a forma indeterminada

- \frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

0

3) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

5) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{20 x})

Para

p1

1

q2

20 x

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

6) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (1)

ⓘ A derivada de uma constante é nula:

\frac{d}{d x} (1)

0

0

7) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (20 x)

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (20 x)

20

20

8) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot 20 x - 1 \cdot 20}{{(20 x)}^{2}}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot 20 x

0

\frac{0 - 20}{{(20 x)}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 20

-20

- \frac{20}{{(20 x)}^{2}}

ⓘ A potência de um produto é o produto das potências:

{(20 x)}^{2}

20^{2} \cdot x^{2}

- \frac{20}{20^{2} \cdot x^{2}}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

20^{2}

20 \cdot 20

400

- \frac{20}{400 x^{2}}

Simplificamos a fração

\frac{20}{400}

pelo fator comum

20

para obter a nova fração:

\frac{1}{20}

- \frac{1}{20 x^{2}}

9) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{1}{20 x})

- \frac{1}{20 x^{2}}

- \frac{1}{20 x^{2}}

Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{20 x^{2}}}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{20 x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{20 x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{20 x^{2}}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{20 x^{2}}}

- \frac{1}{x} \cdot 20 x^{2}

- \frac{1}{x} \cdot 20 x^{2}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{x} \cdot 20 x^{2}

- \frac{1 \cdot 20 x^{2}}{x}

- \frac{20 x^{2}}{x}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

- \frac{20 x^{2}}{x}

-20 x

-20 x

ⓘ O limite de um produto com limites finitos é o produto dos limites

O limite de

- 20 x

é (

- 20 \cdot 0

)⁻ quando

x \to 0

⁺

Vamos calcular:

- 20 \cdot 0

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

20 \cdot 0

0

0

O limite de

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{20 x}}

0

⁻ quando

x \to 0

⁺

O limite de

20 x \cdot \ln (x)

0

⁻ quando

x \to 0

⁺

Portanto, o limite de

x^{20 x}

1

⁻ quando

x \to 0

⁺

▶Limite:

1