limite x->0+ x*ln(x) — solução passo a passo

1) Vamos calcular o limite de

x \cdot \ln (x)

quando

x \to 0

⁺

ⓘ É um limite conhecido da função ln

O limite de

\ln (x)

-∞

quando

x \to 0

⁺

Para

x \cdot \ln (x)

, obtemos a forma indeterminada

0 \cdot -∞

quando

x

tende para

0

2) Para resolver a indeterminação 0 × ∞, reescrevemos o produto

x \cdot \ln (x)

como o quociente

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}

ⓘ Um número não nulo dividido por uma quantidade que tende para 0 torna-se infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

O limite de

\frac{1}{x}

+∞

quando

x \to 0

⁺

Para

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}

, obtemos a forma indeterminada

- \frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

0

3) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

5) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x})

Para

p1

1

q2

x

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

6) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (1)

ⓘ Derivar uma constante dá zero:

\frac{d}{d x} (1)

0

0

7) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

8) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot x

0

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

1 \cdot 1

1

\frac{0 - 1}{x^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 1

-1

- \frac{1}{x^{2}}

9) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x})

- \frac{1}{x^{2}}

- \frac{1}{x^{2}}

Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

- \frac{1 \cdot x^{2}}{x}

- \frac{x^{2}}{x}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

- \frac{x^{2}}{x}

- x

- x

O limite de

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}

0

⁻ quando

x \to 0

⁺

Portanto, o limite de

x \cdot \ln (x)

0

⁻ quando

x \to 0

⁺

▶Limite:

0