limite x->1 (x^2-1)/(x-1) — solução passo a passo

1) Vamos calcular o limite de

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

quando

x \to 1

ⓘ A potência de expoente constante é contínua aqui: substituímos a base pelo seu limite

O limite de

x^{2}

1

quando

x \to 1

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

x^{2} - 1

1 - 1

quando

x \to 1

⇥1.1) Vamos calcular:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥

0

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

x - 1

1 - 1

quando

x \to 1

⇥1.2) Vamos calcular:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥

0

Para

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

, obtemos a forma indeterminada 0/0 quando

x

tende para

1

2) Para encontrar o limite, fatorizamos o numerador e o denominador:

x^{2} - 1

Para

x^{2} - 1

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

x^{2} - 1^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = x

b = 1

Fatores encontrados:

(x + 1) \cdot (x - 1)

3) Vamos simplificar:

\frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}

ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x - 1

\frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}

x + 1

x + 1

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

x + 1

1 + 1

quando

x \to 1

Vamos calcular:

1 + 1

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

1

na reta numérica:

1 + 1

2

2

Portanto, o limite de

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

2

quando

x \to 1

▶Limite:

2