limite x->1 (x^3-1)/(x-1) — solução passo a passo

1) Vamos calcular o limite de

\frac{x^{3} - 1}{x - 1}

quando

x \to 1

ⓘ A potência de expoente constante é contínua aqui: substituímos a base pelo seu limite

O limite de

x^{3}

1

quando

x \to 1

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

x^{3} - 1

1 - 1

quando

x \to 1

⇥1.1) Vamos calcular:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥

0

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

x - 1

1 - 1

quando

x \to 1

⇥1.2) Vamos calcular:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥

0

Para

\frac{x^{3} - 1}{x - 1}

, obtemos a forma indeterminada 0/0 quando

x

tende para

1

2) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 1)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{3})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

3 x^{2}

4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x - 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 1)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

1

Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

ⓘ A potência de expoente constante é contínua aqui: substituímos a base pelo seu limite

O limite de

x^{2}

1

quando

x \to 1

ⓘ O limite de um produto com limites finitos é o produto dos limites

O limite de

3 x^{2}

3

quando

x \to 1

Portanto, o limite de

\frac{x^{3} - 1}{x - 1}

3

quando

x \to 1

▶Limite:

3