limite x->8 (sqrt(7+\sqrt[3]{x)}-3)/(x-8)

⚠ (sqrt(7+\sqrt[3]{x)}-3)/(x-8) é interpretado como (sqrt(7+\sqrt[3]{x})-3)/(x-8): o parêntese final sem par fecha o grupo exterior; escreva o parêntese de fecho depois da chaveta

1) Vamos calcular o limite de

\frac{\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3}{x - 8}

quando

x \to 8

ⓘ A potência de expoente constante é contínua aqui: substituímos a base pelo seu limite

O limite de

\sqrt[3]{x}

\sqrt[3]{8}

quando

x \to 8

⇥1.1) Vamos calcular:

\sqrt[3]{8}

⇥ⓘ A raiz de índice

3

é o número cuja potência

3

é o radicando:

\sqrt[3]{8}

2

pois

2^{3}

8

⇥

2

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

7 + \sqrt[3]{x}

7 + 2

quando

x \to 8

⇥1.2) Vamos calcular:

7 + 2

⇥ⓘ Partimos de

7

e avançamos

2

na reta numérica:

7 + 2

9

⇥

9

ⓘ A função sqrt é contínua: o seu limite é o seu valor no limite do argumento

O limite de

\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

\sqrt{9}

quando

x \to 8

⇥1.3) Vamos avaliar:

\sqrt{9}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

3

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3

3 - 3

quando

x \to 8

⇥1.4) Vamos avaliar:

3 - 3

⇥ⓘ Partimos de

3

e recuamos

3

na reta numérica, até ao zero:

3 - 3

0

⇥

0

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

x - 8

8 - 8

quando

x \to 8

⇥1.5) Vamos calcular:

8 - 8

⇥ⓘ Partimos de

8

e recuamos

8

na reta numérica, até ao zero:

8 - 8

0

⇥

0

Para

\frac{\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3}{x - 8}

, obtemos a forma indeterminada 0/0 quando

x

tende para

8

2) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3)

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}) + 0

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

com f =

7 + \sqrt[3]{x}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}})

■A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}})

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x})}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x})

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

\frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3}}

\frac{\frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3}}

\frac{1 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3}

\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}

■Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

x^{- \frac{2}{3}}

\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}

\frac{\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}{3}}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Dividir uma fração por

3

equivale a multiplicar o seu denominador por

3

\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}{3}

\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}

■Dividir uma fração por

2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

equivale a multiplicar o seu denominador por

2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

\frac{\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{1}{3 \cdot 2 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{1}{3 \cdot 2 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⅰ

3 \cdot 2

6

\frac{1}{6 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x - 8)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 8)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

1

Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

ⓘ A potência de expoente constante é contínua aqui: substituímos a base pelo seu limite

O limite de

\sqrt[3]{x^{2}}

\sqrt[3]{8^{2}}

quando

x \to 8

⇥4.1) Vamos calcular:

\sqrt[3]{8^{2}}

⇥ⓘ A raiz de índice n de uma potência m é a potência m da raiz de índice n; aqui, a raiz de índice

3

8

vale

2

\sqrt[3]{8^{2}}

2^{2}

⇥

2^{2}

⇥ⓘ Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

⇥

4

ⓘ O limite de um produto com limites finitos é o produto dos limites

O limite de

6 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

6 \cdot 4 \cdot 3

quando

x \to 8

⇥4.2) Vamos avaliar:

6 \cdot 4 \cdot 3

⇥ⅰ

6 \cdot 4

24

⇥

24 \cdot 3

⇥ⅰ

24 \cdot 3

(20 + 4) \cdot 3

20 \cdot 3 + 4 \cdot 3

60 + 12

72

⇥

72

O limite de

\frac{1}{6 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{1}{72}

quando

x \to 8

Portanto, o limite de

\frac{\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3}{x - 8}

\frac{1}{72}

quando

x \to 8

▶Limite:

\frac{1}{72}

5) O valor numérico de:

\frac{1}{72}

é:

▷

\approx 1,3889 \times 10^{- 2}