limite x->infinito (1+1/x)^x — solução passo a passo

1) Vamos avaliar o limite de

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

quando

x \to +∞

ⓘ Um número dividido por uma quantidade que se torna infinitamente grande tende para 0

O limite de

\frac{1}{x}

0

⁺ quando

x \to +∞

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

1 + \frac{1}{x}

1

quando

x \to +∞

Para

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

, obtemos a forma indeterminada

1^{+∞}

quando

x

tende para

+∞

Caso

1^{\pm \infty}

: reescrevemos

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

como

\exp (x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x}))

e estudamos o limite de

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

ⓘ A função ln é contínua: o seu limite é o seu valor no limite do argumento

O limite de

\ln (1 + \frac{1}{x})

\ln (1)

quando

x \to +∞

Vamos calcular:

\ln (1)

ⓘ

\ln (1) = 0

, pois

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

0

Para

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

, obtemos a forma indeterminada

+∞ \cdot 0

quando

x

tende para

+∞

Utilizando a fórmula de Taylor

\ln (A) + \sum_{k = 1}^{N} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(X - A)}^{k}}{k A^{k}}

da função ln, calculamos o desenvolvimento limitado para X=

1 + \frac{1}{x}

no ponto A=

1

de ordem N=1

\ln (1) + \sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(1 + \frac{1}{x} - 1)}^{k}}{k \cdot 1^{k}}

ⓘ

\ln (1) = 0

, pois

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 - 1

0

0 + \sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(0 + \frac{1}{x})}^{k}}{k}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{1}{x}

\frac{1}{x}

0 + \sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

■Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

{(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\frac{{(-1)}^{k + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\sum_{k = 1}^{1} \frac{{(-1)}^{k + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

ⅰ

\sum_{k = 1}^{1} \frac{{(-1)}^{k + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\frac{{(-1)}^{1 + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1}}{1}

\frac{{(-1)}^{1 + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1}}{1}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

{(-1)}^{1 + 1} \cdot \frac{1}{x}

\frac{{(-1)}^{1 + 1} \cdot 1}{x}

\frac{{(-1)}^{1 + 1}}{x}

■O expoente calcula-se antes da potência:

1 + 1

2

\frac{{(-1)}^{2}}{x}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

\frac{1}{x}

2) Repetimos o cálculo utilizando o desenvolvimento de Taylor:

x \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

x \cdot \frac{1}{x}

\frac{x \cdot 1}{x}

\frac{x}{x}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x

\frac{x}{x}

1

1

O limite de

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

1

quando

x \to +∞

Portanto, o limite de

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

e

quando

x \to +∞

▶Limite:

e

3) O valor numérico de:

e

vale:

▷

\approx 2,7183