limite x->infinito x^2/e^x — solução passo a passo

1) Vamos avaliar o limite de

\frac{x^{2}}{e^{x}}

quando

x \to +∞

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande elevada a uma potência positiva continua a ser infinitamente grande; com uma potência negativa, tende para 0

O limite de

x^{2}

+∞

quando

x \to +∞

ⓘ Quando o expoente tende para +∞, uma base maior que 1 dá um limite infinito e uma base estritamente entre 0 e 1 dá um limite nulo

O limite de

e^{x}

+∞

quando

x \to +∞

Para

\frac{x^{2}}{e^{x}}

, obtemos a forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

+∞

2) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (e^{x})

ⓘ A derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (e^{x})

e^{x}

e^{x}

Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande multiplicada por uma quantidade de limite não nulo continua a ser infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

O limite de

2 x

+∞

quando

x \to +∞

Para

\frac{2 x}{e^{x}}

, obtemos a forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

+∞

5) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

6) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (2 x)

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2

7) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (e^{x})

ⓘ A derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (e^{x})

e^{x}

e^{x}

Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

ⓘ Um número dividido por uma quantidade que se torna infinitamente grande tende para 0

O limite de

\frac{2}{e^{x}}

0

⁺ quando

x \to +∞

O limite de

\frac{2 x}{e^{x}}

0

⁺ quando

x \to +∞

Portanto, o limite de

\frac{x^{2}}{e^{x}}

0

⁺ quando

x \to +∞

▶Limite:

0