limite x->+inf sqrt(x)/x — solução passo a passo

1) Vamos avaliar o limite de

\frac{\sqrt{x}}{x}

quando

x \to +∞

ⓘ É um limite conhecido da função sqrt

O limite de

\sqrt{x}

+∞

quando

x \to +∞

Para

\frac{\sqrt{x}}{x}

, obtemos a forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

+∞

2) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

ⓘ A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande multiplicada por uma quantidade de limite não nulo continua a ser infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

O limite de

2 \sqrt{x}

+∞

quando

x \to +∞

ⓘ Um número dividido por uma quantidade que se torna infinitamente grande tende para 0

O limite de

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

0

⁺ quando

x \to +∞

Portanto, o limite de

\frac{\sqrt{x}}{x}

0

⁺ quando

x \to +∞

▶Limite:

0