limite x->+infinito (exp(x)-1)/(exp(x)-x)

1) Vamos calcular o limite de

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

quando

x \to +∞

ⓘ É um limite conhecido da função exp

O limite de

\exp (x)

+∞

quando

x \to +∞

ⓘ Uma quantidade infinitamente grande mais uma quantidade finita ou limitada continua a ser infinitamente grande

O limite de

\exp (x) - 1

+∞

quando

x \to +∞

Para

\exp (x) - x

, obtemos a forma indeterminada

+∞ + -∞

quando

x

tende para

+∞

Comparando os crescimentos,

\exp (x)

domina

x

quando

x \to +∞

O limite de

\exp (x) - x

+∞

quando

x \to +∞

Para

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

, obtemos a forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

+∞

2) Para encontrar o limite, dividimos o numerador e o denominador por

\exp (x)

3) Vamos simplificar:

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x)}

1 - \frac{1}{\exp (x)}

1 - \frac{1}{\exp (x)}

4) Vamos reduzir:

\frac{\exp (x) - x}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{\exp (x) - x}{\exp (x)}

1 - \frac{x}{\exp (x)}

1 - \frac{x}{\exp (x)}

Obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

\frac{1 - \frac{1}{\exp (x)}}{1 - \frac{x}{\exp (x)}}

ⓘ Um número dividido por uma quantidade que se torna infinitamente grande tende para 0

O limite de

- \frac{1}{\exp (x)}

0

⁻ quando

x \to +∞

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

1 - \frac{1}{\exp (x)}

1

quando

x \to +∞

Para

- \frac{x}{\exp (x)}

, obtemos a forma indeterminada

- \frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

+∞

Comparando os crescimentos,

\exp (x)

domina

x

quando

x \to +∞

O limite de

- \frac{x}{\exp (x)}

0

⁻ quando

x \to +∞

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

O limite de

1 - \frac{x}{\exp (x)}

1

quando

x \to +∞

O limite de

\frac{1 - \frac{1}{\exp (x)}}{1 - \frac{x}{\exp (x)}}

1

quando

x \to +∞

Portanto, o limite de

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

1

quando

x \to +∞

▶Limite:

1