ln((x-1)^2)<2 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\ln ({(x - 1)}^{2}) < 2

No domínio do logaritmo, ln é estritamente crescente:

\ln ({(x - 1)}^{2}) < 2

equivale a

{(x - 1)}^{2} < e^{2}

{(x - 1)}^{2} < e^{2}

Uma potência par só depende do valor absoluto:

{(x - 1)}^{2} < e^{2}

equivale a

| x - 1 | < e

| x - 1 | < e

| A | < B

equivale a

- B < A < B

- e < x - 1 < e

Somamos

1

aos três membros da desigualdade dupla

- e + 1 < x < e + 1

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] 1 - e; e + 1 [

2) Vamos determinar o domínio de

\ln ({(x - 1)}^{2}) < 2

Para que a expressão

\ln ({(x - 1)}^{2})

esteja definida, é necessário:

{(x - 1)}^{2} > 0

Em ℝ, uma potência par é sempre positiva ou nula e só se anula quando a sua base é nula

3) Vamos resolver em

ℝ

x - 1 = 0

ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

Solução encontrada:

x = 1

Restrições do domínio:

x \neq 1

▶Solução:

x \in] 1 - e; 1 [\cup] 1; e + 1 [

4) O valor numérico de:

x \in] 1 - e; 1 [\cup] 1; e + 1 [

é:

x \in] 1 - \approx 2,7183; 1 [\cup] 1; \approx 2,7183 + 1 [

▷

x \in] \approx -1,7183; 1 [\cup] 1; \approx 3,7183 [