ln(x)+ln(x+1)=ln(2) — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (2)

ⓘ Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (x) + \ln (x + 1)

\ln (x \cdot (x + 1))

\ln (x \cdot (x + 1)) = \ln (2)

No domínio do logaritmo, ln é estritamente crescente:

\ln (x \cdot (x + 1)) = \ln (2)

equivale a

x \cdot (x + 1) = 2

ⓘ Subtraímos

2

a ambos os membros

x \cdot (x + 1) - 2 = 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

x \cdot (x + 1)

x^{2} + x

x^{2} + x - 2 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 1

c = -2

Δ = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

8

na reta numérica:

1 + 8

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 - 3

-4

x_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{2}

-2

x_{1} = -2

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 + 3

2

x_{2} = \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

x_{2} = 1

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = {-2; 1}

2) Vamos determinar o domínio de

\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (2)

Para que a expressão

\ln (x)

esteja definida, é necessário:

x > 0

Para que a expressão

\ln (x + 1)

esteja definida, é necessário:

x + 1 > 0

Solução encontrada:

x > 0

3) Vamos resolver em

ℝ

x + 1 > 0

ⓘ Subtraímos

1

a ambos os membros

Solução encontrada:

x > -1

A interseção de

x > 0

x > -1

dá

x > 0

Restrições do domínio:

x > 0

A solução

x = -2

não pertence ao domínio

x > 0

: é excluída

▶Solução:

x = 1