ln(x)+ln(x+1)=ln(2*x) — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (2 x)

ⓘ Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (x) + \ln (x + 1)

\ln (x \cdot (x + 1))

\ln (x \cdot (x + 1)) = \ln (2 x)

Como a função ln é estritamente crescente,

\ln (a) = \ln (b)

equivale a

a = b

x \cdot (x + 1) = 2 x

Podemos fatorizar a expressão

x \cdot (x + 1) - 2 x

como

x \cdot ((x + 1) - 2)

Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = 0

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

(x + 1) - 2 = 0

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

2

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

1 - 2

-1

⇥

x - 1

⇥Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = 1

2) Vamos determinar o domínio de

\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (2 x)

Para que a expressão

\ln (x)

esteja definida, é necessário:

x > 0

Para que a expressão

\ln (x + 1)

esteja definida, é necessário:

x + 1 > 0

Para que a expressão

\ln (2 x)

esteja definida, é necessário:

2 x > 0

Solução encontrada:

x > 0

3) Vamos resolver em

ℝ

x + 1 > 0

ⓘ Subtraímos

1

a ambos os membros

Solução encontrada:

x > -1

4) Vamos resolver em

ℝ

2 x > 0

Simplificamos a expressão por

2

⇥Vamos resolver em

ℝ

x > 0

⇥Solução encontrada:

x > 0

Vamos construir o quadro das diferentes soluções para encontrar a solução global:

Restrições do domínio:

x > 0

A solução

x = 0

não pertence ao domínio

x > 0

: é excluída

▶Solução:

x = 1