log(1/2,x)>1 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\log (\frac{1}{2}; x) > 1

ⓘ

\log (b; v)

é o logaritmo de

v

na base

b

, ou seja,

\frac{\ln (v)}{\ln (b)}

\log (\frac{1}{2}; x)

\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{1}{2})}

\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{1}{2})} > 1

2) Vamos estudar o sinal de:

\ln (\frac{1}{2})

\ln (0,5)

\approx -0,6931

Multiplicamos ambos os membros por

\ln (\frac{1}{2})

, que é negativo, pelo que invertemos o sentido da desigualdade

\ln (x) < \ln (\frac{1}{2})

ⓘ Subtraímos

\ln (\frac{1}{2})

a ambos os membros

\ln (x) - \ln (\frac{1}{2}) < 0

ⓘ Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (x) - \ln (\frac{1}{2})

\ln (\frac{x}{\frac{1}{2}})

\ln (\frac{x}{\frac{1}{2}}) < 0

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

\frac{x}{\frac{1}{2}}

x \cdot 2

\ln (x \cdot 2) < 0

Podemos aplicar a função exp a ambos os membros:

e^{\ln (x \cdot 2)} < e^{0}

ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; quando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (x \cdot 2)}

x \cdot 2

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

e^{0}

1

x \cdot 2 < 1

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x < \frac{1}{2}

Para que a expressão

\ln (x)

esteja definida, é necessário:

x > 0

Restrições do domínio:

x > 0

▶Solução:

x \in] 0; \frac{1}{2} [

3) O valor numérico de:

x \in] 0; \frac{1}{2} [

vale:

▷

x \in] 0; 0,5 [