log(10,x)<2 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\log (10; x) < 2

ⓘ

\log (b; v)

é o logaritmo de

v

na base

b

, ou seja,

\frac{\ln (v)}{\ln (b)}

\log (10; x)

\frac{\ln (x)}{\ln (10)}

\frac{\ln (x)}{\ln (10)} < 2

2) Vamos estudar o sinal de:

\ln (10)

\approx 2,3026

\ln (x) < 2 \cdot \ln (10)

ⓘ Subtraímos

2 \cdot \ln (10)

a ambos os membros

\ln (x) - 2 \cdot \ln (10) < 0

ⓘ Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (x) - 2 \cdot \ln (10)

\ln (\frac{x}{10^{2}})

\ln (\frac{x}{10^{2}}) < 0

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

10^{2}

10 \cdot 10

100

\ln (\frac{x}{100}) < 0

Podemos aplicar a função exp a ambos os membros:

e^{\ln (\frac{x}{100})} < e^{0}

ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; quando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (\frac{x}{100})}

\frac{x}{100}

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

e^{0}

1

\frac{x}{100} < 1

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x < 100

Para que a expressão

\ln (x)

esteja definida, é necessário:

x > 0

Restrições do domínio:

x > 0

▶Solução:

x \in] 0; 100 [