log(2,x)>1 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\log (2; x) > 1

ⓘ

\log (b; v)

é o logaritmo de

v

na base

b

, ou seja,

\frac{\ln (v)}{\ln (b)}

\log (2; x)

\frac{\ln (x)}{\ln (2)}

\frac{\ln (x)}{\ln (2)} > 1

2) Vamos estudar o sinal de:

\ln (2)

\approx 0,6931

\ln (x) > \ln (2)

ⓘ Subtraímos

\ln (2)

a ambos os membros

\ln (x) - \ln (2) > 0

ⓘ Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (x) - \ln (2)

\ln (\frac{x}{2})

\ln (\frac{x}{2}) > 0

Podemos aplicar a função exp a ambos os membros:

e^{\ln (\frac{x}{2})} > e^{0}

ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; quando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (\frac{x}{2})}

\frac{x}{2}

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

e^{0}

1

\frac{x}{2} > 1

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x > 2

Para que a expressão

\ln (x)

esteja definida, é necessário:

x > 0

Restrições do domínio:

x > 0

▶Solução:

x > 2