-2/x >-(5x)/(x^2+6) — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

- \frac{2}{x} > - \frac{5 x}{x^{2} + 6}

2) Vamos somar as frações:

- \frac{2}{x} + \frac{5 x}{x^{2} + 6} > 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{2}{x} + \frac{5 x}{x^{2} + 6}

\frac{- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x \cdot x}{x \cdot (x^{2} + 6)}

\frac{- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x \cdot x}{x \cdot (x^{2} + 6)} > 0

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

\frac{- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x^{2}}{x \cdot (x^{2} + 6)} > 0

Estudamos o sinal do numerador

⇥2.1) Vamos estudar o sinal de

- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x^{2}

resolvendo em

ℝ

- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x^{2} > 0

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 2 \cdot (x^{2} + 6)

- (2 x^{2} + 12)

⇥

- (2 x^{2} + 12) + 5 x^{2} > 0

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 x^{2} + 12)

- 2 x^{2} - 12

⇥

- 2 x^{2} - 12 + 5 x^{2} > 0

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 2 x^{2} + 5 x^{2}

3 x^{2}

⇥

3 x^{2} - 12 > 0

⇥Como

3 > 0

, dividimos ambos os membros por

3

sem mudar o sentido da desigualdade:

x^{2} - 4 > 0

⇥Uma potência par só depende do valor absoluto:

x^{2} > 4

equivale a

| x | > 2

⇥De

| A | > B

deduzimos:

A > B

A < - B

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥2.2) Vamos resolver em

ℝ

x \cdot (x^{2} + 6) > 0

⇥Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥⇥A expressão

x

anula-se em

x = 0

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

⇥Vamos estudar o sinal de

x^{2} + 6

resolvendo em

ℝ

x^{2} + 6 > 0

⇥Em ℝ, uma potência par nunca é negativa:

x^{2} > -6

é verdadeira para todo

x

⇥A relação simplificada é sempre verdadeira; ainda é necessário respeitar o domínio da expressão inicial

⇥⇥Portanto, a expressão

x^{2} + 6

é sempre positiva

3) Vamos construir o quadro de sinais:

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -2; 0 [\cup] 2; +∞ [

4) Vamos determinar o domínio de

- \frac{2}{x} > - \frac{5 x}{x^{2} + 6}

Para que a expressão

- \frac{2}{x}

esteja definida, é necessário:

x \neq 0

Para que a expressão

- \frac{5 x}{x^{2} + 6}

esteja definida, é necessário:

x^{2} + 6 \neq 0

A condição

x^{2} + 6 \neq 0

é sempre verdadeira no seu domínio real

Restrições do domínio:

x \neq 0

▶Solução:

x \in] -2; 0 [\cup] 2; +∞ [