-2x^2+4x-1=0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

- 2 x^{2} + 4 x - 1 = 0

Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

-1

2 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 2

b = -4

c = 1

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

Δ = 16 - 4 \cdot 2

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

Δ = 16 - 8

ⓘ Partimos de

16

e recuamos

8

na reta numérica:

16 - 8

8

Δ = 8

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{8}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{8}}{2 \cdot 2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

8

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{4 - 2 \cdot \sqrt{2}}{4}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4 - 2 \cdot \sqrt{2}}{4}

\frac{2 - \sqrt{2}}{2}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{8}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{8}}{2 \cdot 2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

8

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2}}{4}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2}}{4}

\frac{2 + \sqrt{2}}{2}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}

▶Soluções obtidas:

x = {\frac{2 - \sqrt{2}}{2}; \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}

2) O valor numérico de:

x = {\frac{2 - \sqrt{2}}{2}; \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}

vale:

x = {\approx \frac{2 - 1,4142}{2}; \approx \frac{2 + 1,4142}{2}}

x = {\approx \frac{0,5858}{2}; \approx \frac{3,4142}{2}}

▷

x = {\approx 0,2929; \approx 1,7071}