-3*(x+1)^2-12<0 — solução passo a passo

Vamos resolver em

ℝ

- 3 \cdot {(x + 1)}^{2} - 12 < 0

ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(x + 1)}^{2}

(x + 1) \cdot (x + 1)

- 3 \cdot (x + 1) \cdot (x + 1) - 12 < 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

3 \cdot (x + 1)

3 x + 3

- (3 x + 3) \cdot (x + 1) - 12 < 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (3 x + 3) \cdot (x + 1)

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 1

+ 3 x

+ 3 \cdot 1)

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 1

+ 3 x

+ 3 \cdot 1) - 12 < 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 1

+ 3 x

+ 3 \cdot 1)

- 3 \cdot x \cdot x

- 3 x \cdot 1

- 3 x

- 3 \cdot 1

- 3 \cdot x \cdot x

- 3 x \cdot 1

- 3 x

- 3 \cdot 1

- 12 < 0

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

- 3 x^{2}

- 3 x

- 3 x

- 3

- 12 < 0

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 3 x - 3 x

-6 x

■Partimos de

-3

e recuamos mais

12

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 3 - 12

-15

- 3 x^{2} - 6 x - 15 < 0

Como

-3 < 0

, dividimos ambos os membros por

-3

invertendo o sentido da desigualdade:

x^{2} + 2 x + 5 > 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 2

c = 5

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

Δ = 4 - 4 \cdot 5

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 5

20

Δ = 4 - 20

ⓘ Partimos de

4

e recuamos

20

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

4 - 20

-16

Δ = -16

O trinómio não tem raízes reais: tem sempre o sinal de a (

1

), pelo que é positivo para todo

x

▶Solução encontrada:

x \in ℝ