paridad de csc(csc(x)) — solução passo a passo

Vamos estudar a paridade de

\csc (\csc (x))

em relação a

x

A cossecante é interpretada como

\csc (u) = \frac{1}{\sin (u)}

, em cada intervalo onde

\sin (u) \neq 0

O domínio é

{x \neq k π; k \in ℤ; \sin (\frac{1}{\sin (x)}) \neq 0}

Substituir

x

por -

x

não altera as condições do domínio:

\sin (\frac{1}{\sin (- x)}) = - \sin (\frac{1}{\sin (x)})

, e

- \sin (\frac{1}{\sin (x)}) \neq 0

equivale a

\sin (\frac{1}{\sin (x)}) \neq 0

Este domínio é simétrico em relação a 0: se

x

pertence ao domínio, -

x

também

Substituímos

x

por -

x

: f(-

x

) =

\frac{1}{\sin (\frac{1}{\sin (- x)})}

⇥

\frac{1}{\sin (\frac{1}{\sin (- x)})}

⇥ⓘ sin é ímpar:

\sin (- x) = - \sin (x)

\sin (- x)

- \sin (x)

⇥

\frac{1}{\sin (\frac{1}{- \sin (x)})}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{1}{- \sin (x)}

- \frac{1}{\sin (x)}

■sin é ímpar:

\sin (- x) = - \sin (x)

\sin (- \frac{1}{\sin (x)})

- \sin (\frac{1}{\sin (x)})

⇥

\frac{1}{- \sin (\frac{1}{\sin (x)})}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{1}{- \sin (\frac{1}{\sin (x)})}

- \frac{1}{\sin (\frac{1}{\sin (x)})}

⇥

- \frac{1}{\sin (\frac{1}{\sin (x)})}

f(-

x

) = -f(

x

): a função é ímpar

▶Paridade: $ímpar$