polar(2+2i) — solução passo a passo

Vamos calcular a forma polar de

2 + 2 i

como

r \exp (i θ)

, com r como módulo e θ como argumento

O módulo do número complexo

a + i b

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

, pelo que:

ⅰ

\mod (2 + 2 i)

\sqrt{2^{2} + 2^{2}}

\sqrt{2^{2} + 2^{2}}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \times 2

4

\sqrt{4 + 4}

ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

4 + 4

8

\sqrt{8}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

8

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{8}

\sqrt{4 \times 2}

\sqrt{4} \times \sqrt{2}

2 \times \sqrt{2}

2 \times \sqrt{2}

Para um número complexo não nulo

a + i b

, o argumento é o ângulo orientado do semieixo real positivo até ao vetor

(a; b)

; segundo os sinais de a e b, vale

0

π

\frac{π}{2}

- \frac{π}{2}

atan (\frac{b}{a})

atan (\frac{b}{a}) + π

atan (\frac{b}{a}) - π

ⅰ

\arg (2 + 2 i)

\arctan (\frac{2}{2})

\arctan (\frac{2}{2})

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

\arctan (1)

ⓘ acos, asin e atan dão, respetivamente, o ângulo principal cujo cosseno, seno ou tangente é o número dado, aqui um valor notável:

\arctan (1)

\frac{π}{4}

\frac{π}{4}

Assim, a forma polar é:

ⅰ

polar (2 + 2 i)

2 \times \sqrt{2} \times \exp (i \times \frac{π}{4})

2 \times \sqrt{2} \times \exp (i \times \frac{π}{4})

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

i \times \frac{π}{4}

\frac{i π}{4}

2 \times \sqrt{2} \times \exp (\frac{i π}{4})

▶Resultado:

2 \exp (\frac{i π}{4}) \times \sqrt{2}