pontos críticos de f(x)=4x^3+7x^2-20x+9

1) Um polinómio é derivável em ℝ: os seus pontos críticos são os zeros da sua derivada

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x + 9)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x + 9)

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

+ \frac{d}{d x} (7 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (- 20 x)

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

+ \frac{d}{d x} (7 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (- 20 x)

+ 0

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (7 x^{2})

7 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (- 20 x)

-20

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 20 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 20 x)

⇥

4 \cdot 3 x^{2} + 7 \cdot 2 x - 20

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

7 \cdot 2

14

⇥

12 x^{2} + 14 x - 20

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

12 x^{2} + 14 x - 20 = 0

⇥Como

2 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

2

6 x^{2} + 7 x - 10 = 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 6

b = 7

c = -10

⇥

Δ = 7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (-10)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

7^{2}

7 \cdot 7

49

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 6

24

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 24 \cdot (-10)

24 \cdot 10

⇥

Δ = 49 + 24 \cdot 10

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

24 \cdot 10

(20 + 4) \cdot 10

20 \cdot 10 + 4 \cdot 10

200 + 40

240

⇥

Δ = 49 + 240

⇥ⓘ Partimos de

49

e avançamos

240

na reta numérica:

49 + 240

289

⇥

Δ = 289

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6}

⇥

x_{1} = \frac{- 7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{289}

17

pois

17^{2}

289

⇥ⅰ

2 \cdot 6

12

⇥

x_{1} = \frac{- 7 - 17}{12}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 7 - 17

-24

⇥

x_{1} = - \frac{24}{12}

⇥Simplificamos a fração

\frac{24}{12}

pelo fator comum

12

para obter a nova expressão:

2

⇥

x_{1} = -2

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6}

⇥

x_{2} = \frac{- 7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{289}

17

pois

17^{2}

289

⇥ⅰ

2 \cdot 6

12

⇥

x_{2} = \frac{- 7 + 17}{12}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 7 + 17

10

⇥

x_{2} = \frac{10}{12}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{10}{12}

\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2}

\frac{5}{6}

⇥

x_{2} = \frac{5}{6}

▶Soluções obtidas:

x = {-2; \frac{5}{6}}