pontos críticos de x^3-6x^2+9x+1 — solução passo a passo

1) Um polinómio é derivável em ℝ: os seus pontos críticos são os zeros da sua derivada

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1)

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (9 x)

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (9 x)

+ 0

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

-6 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (9 x)

9

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (9 x) + 0

\frac{d}{d x} (9 x)

⇥

3 x^{2} - 6 \cdot 2 x + 9

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

6 \cdot 2

12

⇥

3 x^{2} - 12 x + 9

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

3 x^{2} - 12 x + 9 = 0

⇥Como

3 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

3

x^{2} - 4 x + 3 = 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -4

c = 3

⇥

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

⇥

Δ = 16 - 4 \cdot 3

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

⇥

Δ = 16 - 12

⇥ⓘ Partimos de

16

e recuamos

12

na reta numérica:

16 - 12

4

⇥

Δ = 4

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

⇥

x_{1} = \frac{4 - 2}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

4 - 2

2

⇥

x_{1} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

⇥

x_{1} = 1