pontos de inflexão de 3x^5-10x^3 — solução passo a passo

1) Para

3 x^{5} - 10 x^{3}

em ℝ, vamos procurar onde a segunda derivada se anula e muda de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (3 x^{5} - 10 x^{3})

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x^{5} - 10 x^{3})

\frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3})

⇥

\frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3})

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x^{5})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{5})

\frac{d}{d x} (- 10 x^{3})

-10 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{5})

5 x^{4}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

3 \cdot 5 x^{4} - 10 \cdot 3 x^{2}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 5

15

10 \cdot 3

30

⇥

15 x^{4} - 30 x^{2}

A primeira derivada é

15 x^{4} - 30 x^{2}

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (15 x^{4} - 30 x^{2})

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (15 x^{4} - 30 x^{2})

\frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})

⇥

\frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (15 x^{4})

15 \cdot \frac{d}{d x} (x^{4})

\frac{d}{d x} (- 30 x^{2})

-30 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

15 \cdot 4 x^{3} - 30 \cdot 2 x

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

15 \cdot 4

(10 + 5) \cdot 4

10 \cdot 4 + 5 \cdot 4

40 + 20

60

30 \cdot 2

60

⇥

60 x^{3} - 60 x

A segunda derivada é

60 x^{3} - 60 x

⇥1.3) Vamos resolver em

ℝ

60 x^{3} - 60 x = 0

⇥Podemos fatorizar a expressão

60 x^{3} - 60 x

como

x \cdot (60 x^{2} - 60)

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥1.3.1) Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥⇥Solução obtida:

x = 0

⇥⇥1.3.2) Vamos resolver em

ℝ

60 x^{2} - 60 = 0

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

60

⇥⇥

x^{2} = 1

⇥⇥Os dois números cujo quadrado vale

1

são

-1

1

⇥⇥Soluções obtidas:

x = {-1; 1}

⇥1.4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (60 x^{3})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 60 x)

-60

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 3 x^{2} - 60

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

60 \cdot 3

180

⇥

180 x^{2} - 60

x = -1

, o zero da segunda derivada é de ordem 1: esta ordem é ímpar, pelo que a convexidade muda

Perto de

-1

, a segunda derivada é negativa à esquerda e positiva à direita: a curva passa de côncava a convexa

⇥

3 \cdot {(-1)}^{5} - 10 \cdot {(-1)}^{3}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{5}

(-1) \cdot ... \cdot (-1)

, 5 vezes =

-1

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

3 \cdot (-1)

-3

- 10 \cdot (-1)

10

⇥

- 3 + 10

⇥ⓘ Partimos de

-3

e avançamos

10

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 3 + 10

7

⇥

7

A ordenada é f(

-1

) =

7

⇥1.5) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (60 x^{3})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 60 x)

-60

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 3 x^{2} - 60

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

60 \cdot 3

180

⇥

180 x^{2} - 60

x = 0

, o zero da segunda derivada é de ordem 1: esta ordem é ímpar, pelo que a convexidade muda

Perto de

0

, a segunda derivada é positiva à esquerda e negativa à direita: a curva passa de convexa a côncava

⇥

3 \cdot 0^{5} - 10 \cdot 0^{3}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

3 \cdot 0

0

10 \cdot 0

0

⇥

0 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 0

0

⇥

0

A ordenada é f(

0

) =

0

⇥1.6) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (60 x^{3})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 60 x)

-60

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 3 x^{2} - 60

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

60 \cdot 3

180

⇥

180 x^{2} - 60

x = 1

, o zero da segunda derivada é de ordem 1: esta ordem é ímpar, pelo que a convexidade muda

Perto de

1

, a segunda derivada é negativa à esquerda e positiva à direita: a curva passa de côncava a convexa

⇥

3 \cdot 1^{5} - 10 \cdot 1^{3}

⇥

3 - 10

⇥ⓘ Partimos de

3

e recuamos

10

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

3 - 10

-7

⇥

-7

A ordenada é f(

1

) =

-7

▶Pontos de inflexão:

{(-1; 7); (0; 0); (1; -7)}

🖼/draw?f1=3*x%5E5+-+10*x%5E3&v=x&b=-2.0&e=2.0&min=-19.2&max=19.2&points=-1%2C7%3B0%2C0%3B1%2C-7