pontos de inflexão de f(x)=1/(x-2)

⇥1) Vamos determinar o domínio de

\frac{1}{x - 2}

⇥ Para que a expressão

\frac{1}{x - 2}

esteja definida, é necessário:

x - 2 \neq 0

⇥ⓘ Somamos

2

a ambos os membros

⇥Solução obtida:

x \neq 2

Um ponto de inflexão deve pertencer à curva: mantemo-nos no domínio

x \neq 2

⇥Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

\frac{1}{x - 2}

{(x - 2)}^{-1}

⇥2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{-1})

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x - 2

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥

- \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}

⇥

- \frac{\frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 2)

1 + 0

⇥

- \frac{1 + 0}{{(x - 2)}^{2}}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

⇥

- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}

⇥Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}

-1 \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (-1 \cdot {(x - 2)}^{-2})

⇥ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot {(x - 2)}^{-2}

- {(x - 2)}^{-2}

⇥

\frac{d}{d x} (- {(x - 2)}^{-2})

⇥Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x - 2

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- {(x - 2)}^{-2})

- (-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3})

⇥

- (-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3})

⇥ⓘ Extraímos os sinais de menos: um número par de sinais de menos anula-se e um número ímpar deixa um sinal de menos:

- (-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3}

⇥

2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3}

⇥ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{3}}

⇥

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{3}}

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 2)

1 + 0

⇥

\frac{2 \cdot (1 + 0)}{{(x - 2)}^{3}}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

⇥

\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}

A segunda derivada

\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}

é nula em todos os pontos ou nunca se anula em cada intervalo do domínio. O polo excluído não é um ponto de inflexão

▶Pontos de inflexão:

\emptyset