pontos de inflexão de f(x)=-x^3+3x^2-1

1) Para

- x^{3} + 3 x^{2} - 1

em ℝ, vamos procurar onde a segunda derivada se anula e muda de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (- x^{3} + 3 x^{2} - 1)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (- x^{3} + 3 x^{2} - 1)

\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{3})

- 3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

- 3 x^{2} + 3 \cdot 2 x

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 2

6

⇥

- 3 x^{2} + 6 x

⇥

6 x - 3 x^{2}

⇥Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot (6 - 3 x)

⇥Vamos fatorizar em

ℝ

(6 - 3 x)

⇥Colocamos em evidência

3

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

6 - 3 x

3 \cdot (2 - x)

⇥Fator encontrado:

2 - x

A primeira derivada é

3 x \cdot (2 - x)

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (2 - x))

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (2 - x))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥Para

u1

x

v2

2 - x

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

⇥1.3) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥1.4) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (2 - x)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- x)

-1

⇥

-1

⇥1.5) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

1 \cdot (2 - x) + x \cdot (-1)

⇥ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

x \cdot (-1)

- x

⇥

2 - x - x

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- x - x

-2 x

⇥

2 - 2 x

⇥1.6) Depois continuamos a derivação:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

2 - 2 x

⇥

3 \cdot (2 - 2 x)

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

3 \cdot (2 - 2 x)

6 - 6 x

⇥

6 - 6 x

A segunda derivada é

6 - 6 x

⇥1.7) Vamos resolver em

ℝ

6 - 6 x = 0

⇥ⓘ Somamos

6 x

a ambos os membros

⇥

6 = 6 x

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

6

⇥

x = \frac{6}{6}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

6

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{6}

1

⇥Solução obtida:

x = 1

⇥1.8) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (6 - 6 x)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (6 - 6 x)

0 + \frac{d}{d x} (- 6 x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- 6 x)

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- 6 x)

\frac{d}{d x} (- 6 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 6 x)

-6

⇥

-6

x = 1

, o zero da segunda derivada é de ordem 1: esta ordem é ímpar, pelo que a convexidade muda

Perto de

1

, a segunda derivada é positiva à esquerda e negativa à direita: a curva passa de convexa a côncava

⇥

- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 1

⇥

- 1 + 3 - 1

⇥ⓘ Partimos de

-1

e avançamos

3

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 1 + 3

2

⇥

2 - 1

⇥ⓘ Partimos de

2

e recuamos

1

na reta numérica:

2 - 1

1

⇥

1

A ordenada é f(

1

) =

1

▶Pontos de inflexão:

{(1; 1)}

🖼/draw?f1=-x%5E3+%2B+3*x%5E2+-+1&v=x&b=-1.0&e=3.0&min=-1.4&max=3.4&points=1%2C1