pontos de inflexão de f(x)=x^3-6x^2+7

1) Para

x^{3} - 6 x^{2} + 7

em ℝ, vamos procurar onde a segunda derivada se anula e muda de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 7)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 7)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + 0

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

-6 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

3 x^{2} - 6 \cdot 2 x

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

6 \cdot 2

12

⇥

3 x^{2} - 12 x

⇥Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot (3 x - 12)

⇥Vamos fatorizar em

ℝ

(3 x - 12)

⇥Colocamos em evidência

3

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

3 x - 12

3 \cdot (x - 4)

⇥Fator encontrado:

x - 4

A primeira derivada é

3 x \cdot (x - 4)

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (x - 4))

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (x - 4))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (x - 4))

⇥

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (x - 4))

⇥Para

u1

x

v2

x - 4

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

⇥1.3) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥1.4) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (x - 4)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 4)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

⇥

1

⇥1.5) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

1 \cdot (x - 4) + x \cdot 1

⇥

x - 4 + x

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x + x

2 x

⇥

2 x - 4

⇥1.6) Depois continuamos a derivação:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot (x - 4))

2 x - 4

⇥

3 \cdot (2 x - 4)

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

3 \cdot (2 x - 4)

6 x - 12

⇥

6 x - 12

A segunda derivada é

6 x - 12

⇥1.7) Vamos resolver em

ℝ

6 x - 12 = 0

⇥ⓘ Somamos

12

a ambos os membros

⇥

6 x = 12

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

6

⇥

x = \frac{12}{6}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

6

, o seu máximo divisor comum:

\frac{12}{6}

2

⇥Solução obtida:

x = 2

⇥1.8) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (6 x - 12)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (6 x - 12)

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

\frac{d}{d x} (6 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (6 x)

6

⇥

6

x = 2

, o zero da segunda derivada é de ordem 1: esta ordem é ímpar, pelo que a convexidade muda

Perto de

2

, a segunda derivada é negativa à esquerda e positiva à direita: a curva passa de côncava a convexa

⇥

2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 7

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

⇥

8 - 6 \cdot 4 + 7

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

6 \cdot 4

24

⇥

8 - 24 + 7

⇥ⓘ Partimos de

8

e recuamos

24

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

8 - 24

-16

⇥

- 16 + 7

⇥ⓘ Partimos de

-16

e avançamos

7

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 16 + 7

-9

⇥

-9

A ordenada é f(

2

) =

-9

▶Pontos de inflexão:

{(2; -9)}

🖼/draw?f1=x%5E3+-+6*x%5E2+%2B+7&v=x&b=0.0&e=4.0&min=-28.2&max=10.2&points=2%2C-9