pontos de inflexão de f(x)=x^4-54x^2+1

1) Para

x^{4} - 54 x^{2} + 1

em ℝ, vamos procurar onde a segunda derivada se anula e muda de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 54 x^{2} + 1)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{4} - 54 x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + 0

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (- 54 x^{2})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 54 x^{2})

-54 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

4 x^{3} - 54 \cdot 2 x

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

54 \cdot 2

(50 + 4) \cdot 2

50 \cdot 2 + 4 \cdot 2

100 + 8

108

⇥

4 x^{3} - 108 x

A primeira derivada é

4 x^{3} - 108 x

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 108 x)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 108 x)

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 108 x)

⇥

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 108 x)

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 108 x)

-108

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

4 \cdot 3 x^{2} - 108

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

⇥

12 x^{2} - 108

⇥Colocamos em evidência

12

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

12 x^{2} - 108

12 \cdot (x^{2} - 9)

⇥Fator encontrado:

x^{2} - 9

A segunda derivada é

12 \cdot (x^{2} - 9)

⇥1.3) Vamos resolver em

ℝ

12 \cdot (x^{2} - 9) = 0

⇥Simplificamos a expressão por

12

⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 9 = 0

⇥⇥Os dois números cujo quadrado vale

9

são

-3

3

⇥⇥Soluções encontradas:

x = {-3; 3}

⇥1.4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

12 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

12 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0)

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

12 \cdot 2 x

⇥ⅰ

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

24 x

x = -3

, o zero da segunda derivada é de ordem 1: esta ordem é ímpar, pelo que a convexidade muda

Perto de

-3

, a segunda derivada é positiva à esquerda e negativa à direita: a curva passa de convexa a côncava

⇥

{(-3)}^{4} - 54 \cdot {(-3)}^{2} + 1

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-3)}^{4}

(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)

81

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

⇥

81 - 54 \cdot 9 + 1

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

54 \cdot 9

(50 + 4) \cdot 9

50 \cdot 9 + 4 \cdot 9

450 + 36

486

⇥

81 - 486 + 1

⇥ⓘ Partimos de

81

e recuamos

486

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

81 - 486

-405

⇥

- 405 + 1

⇥ⓘ Partimos de

-405

e avançamos

1

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 405 + 1

-404

⇥

-404

A ordenada é f(

-3

) =

-404

⇥1.5) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (12 \cdot (x^{2} - 9))

12 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

12 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0)

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

12 \cdot 2 x

⇥ⅰ

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

24 x

x = 3

, o zero da segunda derivada é de ordem 1: esta ordem é ímpar, pelo que a convexidade muda

Perto de

3

, a segunda derivada é negativa à esquerda e positiva à direita: a curva passa de côncava a convexa

⇥

3^{4} - 54 \cdot 3^{2} + 1

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{4}

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

81

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥

81 - 54 \cdot 9 + 1

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

54 \cdot 9

(50 + 4) \cdot 9

50 \cdot 9 + 4 \cdot 9

450 + 36

486

⇥

81 - 486 + 1

⇥ⓘ Partimos de

81

e recuamos

486

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

81 - 486

-405

⇥

- 405 + 1

⇥ⓘ Partimos de

-405

e avançamos

1

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 405 + 1

-404

⇥

-404

A ordenada é f(

3

) =

-404

▶Pontos de inflexão:

{(-3; -404); (3; -404)}

🖼/draw?f1=x%5E4+-+54*x%5E2+%2B+1&v=x&b=-6.0&e=6.0&min=-800.7458071039999&max=73.885982464&points=-3%2C-404%3B3%2C-404