pontos de inflexão de x^3+2x^2+x-7

1) Para

x^{3}

+ 2 x^{2}

+ x

- 7

em ℝ, vamos procurar onde a segunda derivada se anula e muda de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x^{2} + x - 7)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x^{2} + x - 7)

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (2 x^{2})

+ 1

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (2 x^{2})

+ 1

+ 0

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

⇥

3 x^{2} + 2 \cdot 2 x + 1

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

⇥

3 x^{2} + 4 x + 1

A primeira derivada é

3 x^{2} + 4 x + 1

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4 x + 1)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4 x + 1)

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + 0

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (4 x)

4

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (4 x)

⇥

3 \cdot 2 x + 4

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 2

6

⇥

6 x + 4

A segunda derivada é

6 x + 4

⇥1.3) Vamos resolver em

ℝ

6 x + 4 = 0

⇥ⓘ Subtraímos

4

a ambos os membros

⇥

6 x = -4

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

6

⇥

x = - \frac{4}{6}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{6}

- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}

- \frac{2}{3}

⇥Solução obtida:

x = - \frac{2}{3}

⇥1.4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (6 x + 4)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (6 x + 4)

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

\frac{d}{d x} (6 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (6 x)

6

⇥

6

x = - \frac{2}{3}

, o zero da segunda derivada é de ordem 1: esta ordem é ímpar, pelo que a convexidade muda

Perto de

- \frac{2}{3}

, a segunda derivada é negativa à esquerda e positiva à direita: a curva passa de côncava a convexa

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3}

+ 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2}

- \frac{2}{3}

- 7

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{2}{3} - 7

\frac{- 2 - 7 \cdot 3}{3}

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} + \frac{- 2 - 7 \cdot 3}{3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

7 \cdot 3

21

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} + \frac{- 2 - 21}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 2 - 21

-23

⇥

{(- \frac{2}{3})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(- \frac{2}{3})}^{3}

\frac{{(-2)}^{3}}{3^{3}}

{(- \frac{2}{3})}^{2}

\frac{{(-2)}^{2}}{3^{2}}

⇥

\frac{{(-2)}^{3}}{3^{3}} + 2 \cdot \frac{{(-2)}^{2}}{3^{2}} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥

- \frac{8}{27} + 2 \cdot \frac{4}{9} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{4}{9}

\frac{2 \cdot 4}{9}

\frac{8}{9}

⇥

- \frac{8}{27} + \frac{8}{9} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

27

, o mínimo múltiplo comum de

27

9

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

- \frac{8}{27} + \frac{8}{9}

- \frac{8}{27} + \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3}

\frac{- 8 + 8 \cdot 3}{27}

⇥

\frac{- 8 + 8 \cdot 3}{27} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 3

24

⇥

\frac{- 8 + 24}{27} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 8 + 24

16

⇥

\frac{16}{27} - \frac{23}{3}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

27

, o mínimo múltiplo comum de

27

3

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{16}{27} - \frac{23}{3}

\frac{16}{27} + \frac{-23 \cdot 9}{3 \cdot 9}

\frac{16 - 23 \cdot 9}{27}

⇥

\frac{16 - 23 \cdot 9}{27}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

23 \cdot 9

(20 + 3) \cdot 9

20 \cdot 9 + 3 \cdot 9

180 + 27

207

⇥

\frac{16 - 207}{27}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

16 - 207

-191

⇥

- \frac{191}{27}

A ordenada é f(

- \frac{2}{3}

) =

- \frac{191}{27}

▶Pontos de inflexão:

{(- \frac{2}{3}; - \frac{191}{27})}

🖼/draw?f1=x%5E3+%2B+2*x%5E2+%2B+x+-+7&v=x&b=-2.6666666666666665&e=1.3333333333333335&min=-15.87407407407407&max=1.7259259259259279&points=-2%2F3%2C-191%2F27