pontos de inflexão de x^5 — solução passo a passo

1) Para

x^{5}

em ℝ, vamos procurar onde a segunda derivada se anula e muda de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{5})

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{5})

5 x^{4}

⇥

5 x^{4}

A primeira derivada é

5 x^{4}

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (5 x^{4})

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x^{4})

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{4})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

⇥

5 \cdot 4 x^{3}

⇥ⅰ

5 \cdot 4

20

⇥

20 x^{3}

A segunda derivada é

20 x^{3}

⇥1.3) Vamos resolver em

ℝ

20 x^{3} = 0

⇥Simplificamos a expressão por

20

⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

x^{3} = 0

⇥⇥

x^{3} = 0

implica:

x = 0

⇥⇥Solução encontrada:

x = 0

⇥1.4) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (20 x^{3})

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (20 x^{3})

20 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

20 \cdot 3 x^{2}

⇥ⅰ

20 \cdot 3

60

⇥

60 x^{2}

⇥1.5) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (60 x^{2})

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (60 x^{2})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

60 \cdot 2 x

⇥ⅰ

60 \cdot 2

120

⇥

120 x

⇥1.6) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (120 x)

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (120 x)

120

⇥

120

x = 0

, o zero da segunda derivada é de ordem 3: esta ordem é ímpar, pelo que a convexidade muda

Perto de

0

, a segunda derivada é negativa à esquerda e positiva à direita: a curva passa de côncava a convexa

⇥

0^{5}

⇥

0

A ordenada é f(

0

) =

0

▶Pontos de inflexão:

{(0; 0)}

🖼/draw?f1=x%5E5&v=x&b=-2.0&e=2.0&min=-38.4&max=38.4&points=0%2C0