resolve |(2-3x)/(1+x)|>1 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

| \frac{2 - 3 x}{1 + x} | > 1

| A | > B

implica:

A > B

A < - B

2) Vamos resolver em

ℝ

\frac{2 - 3 x}{1 + x} > 1

3) Vamos somar as frações:

\frac{2 - 3 x}{1 + x} - 1 > 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{2 - 3 x}{1 + x} - 1

\frac{(2 - 3 x) - 1 \cdot (1 + x)}{1 + x}

\frac{(2 - 3 x) - 1 \cdot (1 + x)}{1 + x} > 0

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot (1 + x)

- (1 + x)

\frac{2 - 3 x - (1 + x)}{1 + x} > 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (1 + x)

- 1 - x

\frac{2 - 3 x - 1 - x}{1 + x} > 0

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 - 1

1

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 3 x - x

-4 x

\frac{1 - 4 x}{1 + x} > 0

Estudamos o sinal do numerador

⇥A expressão

1 - 4 x

anula-se em:

⇥

x = \frac{-1}{-4}

⇥ⓘ Os sinais de menos do numerador e do denominador anulam-se:

\frac{-1}{-4}

\frac{1}{4}

⇥

x = \frac{1}{4}

⇥Como o seu coeficiente de

x

-4

, é negativo, é positiva antes e negativa depois de

\frac{1}{4}

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥A expressão

1 + x

anula-se em

x = -1

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

4) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-1$		$\frac{1}{4}$		$+∞$
$1 - 4 x$		+		+	0	-
$1 + x$		-	0	+		+
$\frac{2 - 3 x}{1 + x} - 1$		-	❌	+	0	-

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -1; \frac{1}{4} [

5) Vamos resolver em

ℝ

\frac{2 - 3 x}{1 + x} < -1

6) Vamos somar as frações:

\frac{2 - 3 x}{1 + x} + 1 < 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{2 - 3 x}{1 + x} + 1

\frac{(2 - 3 x) + (1 + x)}{1 + x}

\frac{(2 - 3 x) + (1 + x)}{1 + x} < 0

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 + 1

3

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 3 x + x

-2 x

\frac{3 - 2 x}{1 + x} < 0

Estudamos o sinal do numerador

⇥A expressão

3 - 2 x

anula-se em:

⇥

x = \frac{-3}{-2}

⇥ⓘ Os sinais de menos do numerador e do denominador anulam-se:

\frac{-3}{-2}

\frac{3}{2}

⇥

x = \frac{3}{2}

⇥Como o seu coeficiente de

x

-2

, é negativo, é positiva antes e negativa depois de

\frac{3}{2}

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥A expressão

1 + x

anula-se em

x = -1

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

7) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-1$		$\frac{3}{2}$		$+∞$
$3 - 2 x$		+		+	0	-
$1 + x$		-	0	+		+
$\frac{2 - 3 x}{1 + x} + 1$		-	❌	+	0	-

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; -1 [\cup] \frac{3}{2}; +∞ [

8) Vamos procurar o domínio de

| \frac{2 - 3 x}{1 + x} | > 1

Para que a expressão

\frac{2 - 3 x}{1 + x}

esteja definida, é necessário:

1 + x \neq 0

ⓘ Subtraímos

1

a ambos os membros

Restrições do domínio:

x \neq -1

▶Solução:

x \in] -∞; -1 [\cup] -1; \frac{1}{4} [\cup] \frac{3}{2}; +∞ [

9) O valor numérico de:

x \in] -∞; -1 [\cup] -1; \frac{1}{4} [\cup] \frac{3}{2}; +∞ [

vale:

▷

x \in] -∞; -1 [\cup] -1; 0,25 [\cup] 1,5; +∞ [