resolve |(x-2)/(3x+5)|<= 4 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

| \frac{x - 2}{3 x + 5} | \leq 4

| A | \leq B

equivale a

- B \leq A \leq B

2) Vamos resolver em

ℝ

\frac{x - 2}{3 x + 5} \leq 4

3) Vamos somar as frações:

\frac{x - 2}{3 x + 5} - 4 \leq 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{x - 2}{3 x + 5} - 4

\frac{(x - 2) - 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5}

\frac{(x - 2) - 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \leq 0

\frac{x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \leq 0

Estudamos o sinal do numerador

Vamos estudar o sinal de

x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)

resolvendo em

ℝ

x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5) \leq 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 4 \cdot (3 x + 5)

- (12 x + 20)

x - 2 - (12 x + 20) \leq 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (12 x + 20)

- 12 x - 20

x

- 2

- 12 x

- 20 \leq 0

ⓘ Partimos de

-2

e recuamos mais

20

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 2 - 20

-22

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x - 12 x

-11 x

- 11 x - 22 \leq 0

ⓘ Somamos

22

a ambos os membros

- 11 x \leq 22

Dividimos ambos os membros por

-11

, que é negativo, pelo que invertemos o sentido da desigualdade

x \geq \frac{22}{-11}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{22}{-11}

- \frac{22}{11}

x \geq - \frac{22}{11}

Simplificamos a fração

\frac{22}{11}

pelo fator comum

11

para obter a nova expressão:

2

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \geq -2

⇥Portanto, a expressão

x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)

é negativa ou nula em

[-2; +∞ [

e positiva nos restantes pontos

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥A expressão

3 x + 5

anula-se em:

⇥

x = - \frac{5}{3}

⇥Como o seu coeficiente de

x

3

, é positivo, é negativa antes e positiva depois de

- \frac{5}{3}

(valor excluído)

4) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-2$		$- \frac{5}{3}$		$+∞$
$x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)$		+	0	-		-
$3 x + 5$		-		-	0	+
$\frac{x - 2}{3 x + 5} - 4$		-	0	+	❌	-

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; -2] \cup] - \frac{5}{3}; +∞ [

5) Vamos resolver em

ℝ

\frac{x - 2}{3 x + 5} \geq -4

6) Vamos somar as frações:

\frac{x - 2}{3 x + 5} + 4 \geq 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{x - 2}{3 x + 5} + 4

\frac{(x - 2) + 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5}

\frac{(x - 2) + 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \geq 0

\frac{x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \geq 0

Estudamos o sinal do numerador

Vamos estudar o sinal de

x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)

resolvendo em

ℝ

x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5) \geq 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

4 \cdot (3 x + 5)

12 x + 20

x

- 2

+ 12 x

+ 20 \geq 0

ⓘ Partimos de

-2

e avançamos

20

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 2 + 20

18

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x + 12 x

13 x

13 x + 18 \geq 0

13 x \geq -18

ⓘ Dividimos ambos os membros por

13

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \geq - \frac{18}{13}

⇥Portanto, a expressão

x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)

é positiva ou nula em

[- \frac{18}{13}; +∞ [

e negativa nos restantes pontos

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥A expressão

3 x + 5

anula-se em:

⇥

x = - \frac{5}{3}

⇥Como o seu coeficiente de

x

3

, é positivo, é negativa antes e positiva depois de

- \frac{5}{3}

(valor excluído)

7) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$- \frac{5}{3}$		$- \frac{18}{13}$		$+∞$
$x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)$		-		-	0	+
$3 x + 5$		-	0	+		+
$\frac{x - 2}{3 x + 5} + 4$		+	❌	-	0	+

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; - \frac{5}{3} [\cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

Vamos construir o quadro das diferentes soluções para encontrar a solução global:

$x$	$-∞$		$-2$		$- \frac{5}{3}$		$- \frac{18}{13}$		$+∞$
$\frac{x - 2}{3 x + 5} \geq -4$		✅	✅	✅	❌	❌	✅	✅
$\frac{x - 2}{3 x + 5} \leq 4$		✅	✅	❌	❌	✅	✅	✅
Solução global		✅	✅	❌	❌	❌	✅	✅

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x \in] -∞; -2] \cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

8) Vamos determinar o domínio de

| \frac{x - 2}{3 x + 5} | \leq 4

Para que a expressão

\frac{x - 2}{3 x + 5}

esteja definida, é necessário:

3 x + 5 \neq 0

ⓘ Subtraímos

5

a ambos os membros

3 x \neq -5

ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

Restrições do domínio:

x \neq - \frac{5}{3}

▶Solução:

x \in] -∞; -2] \cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

9) O valor numérico de:

x \in] -∞; -2] \cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

vale:

▷

x \in] -∞; -2] \cup [\approx -1,3846; +∞ [