resolve dy/dx=x*sqrt(x^2-1)/y — solução passo a passo

⚠ dy/dx numa equação é interpretado como a derivada y' em relação a x: para um quociente de produtos, escreva (d*y)/(d*x)

1) Vamos resolver a equação separável

y' = x \cdot \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{y}

, onde

y

é uma função de

x

y \neq 0

⇥1.1) Vamos procurar o domínio de

x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

⇥ Para que a expressão

\sqrt{x^{2} - 1}

esteja definida, é necessário:

x^{2} - 1 \geq 0

⇥Uma potência par só depende do valor absoluto:

x^{2} \geq 1

equivale a

| x | \geq 1

⇥

| A | \geq B

implica:

A \geq B

A \leq - B

⇥Solução encontrada:

x \in] -∞; -1] \cup [1; +∞ [

A função de

x

está definida para

x \in] -∞; -1] \cup [1; +∞ [

Multiplicamos por

y

e separamos as variáveis:

y \cdot dy = x \cdot \sqrt{x^{2} - 1} \cdot dx

⇥1.2) Vamos calcular a integral:

\int x \cdot \sqrt{x^{2} - 1} d x

⇥Fazemos

u = x^{2} - 1

. Então

du = 2 x \cdot dx

, pelo que

x \cdot dx = \frac{du}{2}

⇥

\int x \cdot \sqrt{x^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} \cdot \int \sqrt{u} d u

⇥Uma primitiva de

\sqrt{u}

\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥Substituímos

u

por

x^{2} - 1

na primitiva

⇥ⅰ

\int x \cdot \sqrt{x^{2} - 1} d x

\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥

\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}

Integrando ambos os membros, obtemos

\frac{y^{2}}{2} = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C

, onde

C

é uma constante real arbitrária

Multiplicamos por

2

e renomeamos

2 C

como

C

y^{2} = \frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C

Os dois ramos reais têm sinal fixo em cada intervalo onde o segundo membro inicial é real e

\frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C

> 0, pelo que

y

= 0 fica excluído

▶Solução:

y = {- \sqrt{\frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C}; \sqrt{\frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C}}