resolve sqrt(x) + 1 = y para x — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

\sqrt{x} + 1 = y

Isolamos a raiz:

\sqrt{x} = y - 1

. Por convenção, a raiz quadrada é sempre positiva ou nula; elevamos ambos os membros ao quadrado, desde que

y - 1 \geq 0

x = {(y - 1)}^{2}

ⓘ Subtraímos

0

a ambos os membros■Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(y - 1)}^{2}

(y - 1) \cdot (y - 1)

x = (y - 1) \cdot (y - 1)

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(y - 1) \cdot (y - 1)

y \cdot y

+ y \cdot (-1)

- 1 \cdot y

- 1 \cdot (-1)

x = y \cdot y

+ y \cdot (-1)

- 1 \cdot y

- 1 \cdot (-1)

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

y \cdot y

y^{2}

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

y \cdot (-1)

- y

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

1 \cdot y

y

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-1 \cdot (-1)

1

x = y^{2}

- y

- y

+ 1

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- y - y

-2 y

Candidatos, sujeitos ao domínio:

x = y^{2} - 2 y + 1

2) Vamos resolver para y:

y - 1 \geq 0

ⓘ Somamos

1

a ambos os membros

Candidatos, sujeitos ao domínio:

y \geq 1

Para que a expressão

\sqrt{x}

esteja definida, é necessário:

x \geq 0

Restrições do domínio:

x \geq 0

▶Solução:

{x = y^{2} - 2 y + 1; y \geq 1}