simplifica (1+3i)/(3+i) — solução passo a passo

1) Vamos reduzir:

\frac{1 + 3 i}{3 + i}

ⓘ Para tornar o denominador real, multiplicamos o numerador e o denominador pelo seu conjugado, pois

(a + b i) \times (a - b \times i) = a^{2} + b^{2}

\frac{1 + 3 i}{3 + i}

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{3^{2} + 1}

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{3^{2} + 1}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \times 3

9

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{9 + 1}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

9 + 1

10

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{10}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(1 + 3 i) \times (3 - i)

1 \times 3

+ 1 \times (- i)

+ 3 \times i \times 3

+ 3 \times i \times (- i)

\frac{1 \times 3 + 1 \times (- i) + 3 \times i \times 3 + 3 \times i \times (- i)}{10}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \times 3

9

■Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

3 \times (- i)

-3 i

\frac{3 - i + 9 i - 3 \times i \times i}{10}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- i + 9 i

8 i

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

i \times i

i^{2}

\frac{3 + 8 i - 3 i^{2}}{10}

ⓘ

i^{2} = -1

, pelo que as potências inteiras de i se reduzem a

1

i

-1

- i

i^{2}

-1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

- 3 \times (-1)

3

\frac{3 + 8 i + 3}{10}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

3 + 3

6

\frac{6 + 8 i}{10}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{6 + 8 i}{10}

\frac{3 + 4 i}{5}

\frac{3 + 4 i}{5}

ⓘ Um número complexo escreve-se na forma algébrica

a + b i

, onde

a

é a sua parte real e

b

a sua parte imaginária:

\frac{3 + 4 i}{5}

\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times i

▶Forma simplificada:

\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times i

2) O valor numérico de:

\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times i

vale:

▷

0,6 + 0,8 i