simplifica (1+i/n)^3 — solução passo a passo

Os denominadores iniciais devem ser não nulos:

n \neq 0

Vamos reduzir:

{(1 + \frac{i}{n})}^{3}

Utilizando a fórmula do binómio de Newton:

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\frac{n!}{k! (n - k)!}) a^{n - k} b^{k}

, desenvolvemos a expressão matemática:

ⅰ

{(1 + \frac{i}{n})}^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot 1^{3} \cdot {(\frac{i}{n})}^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot 1^{2} \cdot {(\frac{i}{n})}^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot 1^{1} \cdot {(\frac{i}{n})}^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot 1^{0} \cdot {(\frac{i}{n})}^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot 1^{3} \cdot {(\frac{i}{n})}^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot 1^{2} \cdot {(\frac{i}{n})}^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot 1^{1} \cdot {(\frac{i}{n})}^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot 1^{0} \cdot {(\frac{i}{n})}^{3}

ⓘ Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1. Neste cálculo, adotamos a convenção

0^{0} = 1

{(\frac{i}{n})}^{0}

1

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

1^{0}

1

\frac{3!}{3! \cdot 0!}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot \frac{i}{n}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot {(\frac{i}{n})}^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot {(\frac{i}{n})}^{3}

ⓘ O fatorial de um inteiro estritamente positivo é o produto de todos os inteiros de 1 até esse inteiro:

3!

6

2!

2

1!

1

■Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

6 \cdot 1

6

2 \cdot 1

2

1 \cdot 2

2

1 \cdot 6

6

\frac{6}{6}

+ \frac{6}{2} \cdot \frac{i}{n}

+ \frac{6}{2} \cdot {(\frac{i}{n})}^{2}

+ \frac{6}{6} \cdot {(\frac{i}{n})}^{3}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

6

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{6}

1

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

■Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

3 \cdot \frac{i}{n}

\frac{3 i}{n}

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

1 \cdot {(\frac{i}{n})}^{3}

{(\frac{i}{n})}^{3}

1

+ \frac{3 i}{n}

+ 3 \cdot {(\frac{i}{n})}^{2}

+ {(\frac{i}{n})}^{3}

ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{i}{n})}^{2}

\frac{i^{2}}{n^{2}}

{(\frac{i}{n})}^{3}

\frac{i^{3}}{n^{3}}

1

+ \frac{3 i}{n}

+ 3 \cdot \frac{i^{2}}{n^{2}}

+ \frac{i^{3}}{n^{3}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

3 \cdot \frac{i^{2}}{n^{2}}

\frac{3 i^{2}}{n^{2}}

■

i^{2} = -1

, pelo que as potências inteiras de i se reduzem a

1

i

-1

- i

i^{2}

-1

i^{3}

- i

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

3 \cdot (-1)

-3

1

+ \frac{3 i}{n}

- \frac{3}{n^{2}}

- \frac{i}{n^{3}}

▶Forma simplificada:

- \frac{3}{n^{2}} + 1 + i \cdot (\frac{3}{n} - \frac{1}{n^{3}})