simplifica (3+i)/(4+i) — solução passo a passo

1) Vamos reduzir:

\frac{3 + i}{4 + i}

ⓘ Para tornar o denominador real, multiplicamos o numerador e o denominador pelo seu conjugado, pois

(a + b i) \times (a - b \times i) = a^{2} + b^{2}

\frac{3 + i}{4 + i}

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{4^{2} + 1}

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{4^{2} + 1}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{2}

4 \times 4

16

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{16 + 1}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

16 + 1

17

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{17}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(3 + i) \times (4 - i)

3 \times 4

+ 3 \times (- i)

+ i \times 4

+ i \times (- i)

\frac{3 \times 4 + 3 \times (- i) + i \times 4 + i \times (- i)}{17}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \times 4

12

■Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

3 \times (- i)

- 3 i

i \times (- i)

- i \times i

\frac{12 - 3 i + i \times 4 - i \times i}{17}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 3 i + i \times 4

i

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

i \times i

i^{2}

\frac{12 + i - i^{2}}{17}

ⓘ

i^{2} = -1

, pelo que as potências inteiras de i se reduzem a

1

i

-1

- i

- i^{2}

- (-1)

\frac{12 + i - (-1)}{17}

ⓘ Subtrair um número negativo equivale a somar o seu oposto: dois sinais de menos dão um mais:

- (-1)

1

\frac{12 + i + 1}{17}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

12 + 1

13

\frac{13 + i}{17}

ⓘ Um número complexo escreve-se na forma algébrica

a + b i

, onde

a

é a sua parte real e

b

a sua parte imaginária:

\frac{13 + i}{17}

\frac{13}{17} + \frac{1}{17} \times i

▶Forma simplificada:

\frac{13}{17} + \frac{1}{17} \times i

2) O valor numérico de:

\frac{13}{17} + \frac{1}{17} \times i

é:

▷

\approx 0,7647 + \approx 5,8824 \times 10^{- 2} \times i