simplifica (4+5i)/(4+6i) — solução passo a passo

1) Vamos simplificar:

\frac{4 + 5 i}{4 + 6 i}

ⓘ Para tornar o denominador real, multiplicamos o numerador e o denominador pelo seu conjugado, pois

(a + b i) \times (a - b \times i) = a^{2} + b^{2}

\frac{4 + 5 i}{4 + 6 i}

\frac{(4 + 5 i) \times (4 - 6 i)}{4^{2} + 6^{2}}

\frac{(4 + 5 i) \times (4 - 6 i)}{4^{2} + 6^{2}}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{2}

4 \times 4

16

6^{2}

6 \times 6

36

\frac{(4 + 5 i) \times (4 - 6 i)}{16 + 36}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

16 + 36

52

\frac{(4 + 5 i) \times (4 - 6 i)}{52}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{(4 + 5 i) \times (4 - 6 i)}{52}

\frac{(4 + 5 i) \times (2 - 3 i)}{26}

\frac{(4 + 5 i) \times (2 - 3 i)}{26}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(4 + 5 i) \times (2 - 3 i)

4 \times 2

+ 4 \times (-3) i

+ 5 i \times 2

+ 5 \times i \times (-3) \times i

\frac{4 \times 2 + 4 \times (-3) i + 5 i \times 2 + 5 \times i \times (-3) \times i}{26}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \times 2

8

5 \times 2

10

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

4 \times (-3)

-12

5 \times (-3)

-15

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

i \times i

i^{2}

\frac{8 - 12 i + 10 i - 15 i^{2}}{26}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 12 i + 10 i

-2 i

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

- 15 \times (-1)

15

■

i^{2} = -1

, pelo que as potências inteiras de i se reduzem a

1

i

-1

- i

i^{2}

-1

\frac{8 - 2 i + 15}{26}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

8 + 15

23

\frac{23 - 2 i}{26}

ⓘ Um número complexo escreve-se na forma algébrica

a + b i

, onde

a

é a sua parte real e

b

a sua parte imaginária:

\frac{23 - 2 i}{26}

\frac{23}{26} - \frac{1}{13} \times i

▶Forma simplificada:

\frac{23}{26} - \frac{1}{13} \times i

2) O valor numérico de:

\frac{23}{26} - \frac{1}{13} \times i

vale:

▷

\approx 0,8846 - \approx 7,6923 \times 10^{- 2} \times i