simplifica (5+i)/i+(3-4i)/(1-i)

1) Vamos reduzir:

\frac{5 + i}{i} + \frac{3 - 4 i}{1 - i}

ⓘ Para eliminar i do denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por i, pois

i \times i = -1

\frac{5 + i}{i}

- i \times (5 + i)

■Para tornar o denominador real, multiplicamos o numerador e o denominador pelo seu conjugado, pois

(a + b i) \times (a - b \times i) = a^{2} + b^{2}

\frac{3 - 4 i}{1 - i}

\frac{(3 - 4 i) \times (1 + i)}{1 + {(-1)}^{2}}

- i \times (5 + i) + \frac{(3 - 4 i) \times (1 + i)}{1 + {(-1)}^{2}}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \times (-1)

1

- i \times (5 + i) + \frac{(3 - 4 i) \times (1 + i)}{1 + 1}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 1

2

- i \times (5 + i) + \frac{(3 - 4 i) \times (1 + i)}{2}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- i \times (5 + i)

- (i \times 5 + i^{2})

(3 - 4 i) \times (1 + i)

3 \times 1

+ 3 i

- 4 i \times 1

- 4 \times i \times i

- (i \times 5 + i^{2}) + \frac{3 \times 1 + 3 i - 4 i \times 1 - 4 \times i \times i}{2}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (i \times 5 + i^{2})

- i \times 5 - i^{2}

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

i \times i

i^{2}

- i \times 5 - i^{2} + \frac{3 + 3 i - 4 i - 4 i^{2}}{2}

ⓘ

i^{2} = -1

, pelo que as potências inteiras de i se reduzem a

1

i

-1

- i

- i^{2}

- (-1)

i^{2}

-1

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

3 i - 4 i

- i

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

- 4 \times (-1)

4

- i \times 5 - (-1) + \frac{3 - i + 4}{2}

ⓘ Subtrair um número negativo equivale a somar o seu oposto: dois sinais de menos dão um mais:

- (-1)

1

■O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

3 + 4

7

- i \times 5 + 1 + \frac{7 - i}{2}

ⅰ

- i \times 5 + \frac{7 - i}{2}

\frac{2 \times (- i \times 5) + (7 - i)}{2}

\frac{2 \times (- i \times 5) + (7 - i)}{2} + 1

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \times 5

10

■Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

10 \times (- i)

- 10 i

\frac{- 10 i + 7 - i}{2} + 1

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 10 i - i

-11 i

\frac{- 11 i + 7}{2} + 1

ⅰ

\frac{- 11 i + 7}{2} + 1

\frac{(- 11 i + 7) + 2}{2}

\frac{(- 11 i + 7) + 2}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

7 + 2

9

\frac{- 11 i + 9}{2}

▶Forma simplificada:

\frac{9 - 11 i}{2}

2) O valor numérico de:

\frac{9 - 11 i}{2}

é:

\frac{9}{2} - \frac{11}{2} \times i

▷

4,5 - 5,5 i