simplifica ((4-i))/((3+4i)) — solução passo a passo

1) Vamos reduzir:

\frac{4 - i}{3 + 4 i}

ⓘ Para tornar o denominador real, multiplicamos o numerador e o denominador pelo seu conjugado, pois

(a + b i) \times (a - b \times i) = a^{2} + b^{2}

\frac{4 - i}{3 + 4 i}

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{3^{2} + 4^{2}}

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{3^{2} + 4^{2}}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \times 3

9

4^{2}

4 \times 4

16

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{9 + 16}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

9 + 16

25

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{25}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(4 - i) \times (3 - 4 i)

4 \times 3

+ 4 \times (-4) \times i

- i \times 3

- i \times (-4) \times i

\frac{4 \times 3 + 4 \times (-4) \times i - i \times 3 - i \times (-4) \times i}{25}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \times 3

12

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

4 \times (-4)

-16

■Dois sinais de menos anulam-se:

- i \times (-4)

4 i

\frac{12 - 16 i - i \times 3 + 4 \times i \times i}{25}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 16 i - i \times 3

-19 i

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

i \times i

i^{2}

\frac{12 - 19 i + 4 i^{2}}{25}

ⓘ

i^{2} = -1

, pelo que as potências inteiras de i se reduzem a

1

i

-1

- i

i^{2}

-1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

4 \times (-1)

-4

\frac{12 - 19 i - 4}{25}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

12 - 4

8

\frac{8 - 19 i}{25}

ⓘ Um número complexo escreve-se na forma algébrica

a + b i

, onde

a

é a sua parte real e

b

a sua parte imaginária:

\frac{8 - 19 i}{25}

\frac{8}{25} - \frac{19}{25} \times i

▶Forma simplificada:

\frac{8}{25} - \frac{19}{25} \times i

2) O valor numérico de:

\frac{8}{25} - \frac{19}{25} \times i

é:

▷

0,32 - 0,76 i