simplifica (m^2)/(m^2-4)+1/(2-m)

Os denominadores iniciais devem ser não nulos:

m \in ℝ \ {-2; 2}

1) Vamos somar as frações:

\frac{m^{2}}{m^{2} - 4} + \frac{1}{2 - m}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{m^{2}}{m^{2} - 4} + \frac{1}{2 - m}

\frac{m^{2} \cdot (2 - m) + (m^{2} - 4)}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

\frac{m^{2} \cdot (2 - m) + (m^{2} - 4)}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{m^{2} \cdot (2 - m) + m^{2} - 4}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

\frac{(- m + 2) \cdot (m^{2} - 1 \cdot (2 + m))}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

\frac{(- m + 2) \cdot (m^{2} - 1 \cdot (2 + m))}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

Aplicando a fórmula

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, simplificamos a fração

\frac{- m + 2}{m^{2} - 4}

pelo fator comum

- m + 2

para obter a nova fração:

\frac{1}{- m - 2}

\frac{m^{2} - 1 \cdot (2 + m)}{(- m - 2) \cdot (2 - m)}

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot (2 + m)

- (2 + m)

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- m - 2

- (m + 2)

\frac{m^{2} - (2 + m)}{- (m + 2) \cdot (2 - m)}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 + m)

- 2 - m

\frac{m^{2} - 2 - m}{- (m + 2) \cdot (2 - m)}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{m^{2} - 2 - m}{- (m + 2) \cdot (2 - m)}

- \frac{m^{2} - 2 - m}{(m + 2) \cdot (2 - m)}

- \frac{m^{2} - 2 - m}{(m + 2) \cdot (2 - m)}

2) Vamos fatorizar em

ℝ

m^{2} - 2 - m

Dada a forma quadrática

a m^{2} + b m + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -1

c = -2

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

8

na reta numérica:

1 + 8

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

m_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

m_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

m_{1} = \frac{1 - 3}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 3

-2

m_{1} = - \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

m_{1} = -1

A fórmula resolvente do segundo grau dá

m_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

m_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

m_{2} = \frac{1 + 3}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 3

4

m_{2} = \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

m_{2} = 2

Fatores encontrados:

(m + 1) \cdot (m - 2)

Simplificamos a fração

\frac{m - 2}{2 - m}

pelo fator comum

m - 2

para obter a nova expressão:

-1

- \frac{m + 1}{(m + 2) \cdot (-1)}

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

(m + 2) \cdot (-1)

- (m + 2)

- \frac{m + 1}{- (m + 2)}

ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- \frac{m + 1}{- (m + 2)}

\frac{m + 1}{m + 2}

▶Resultado:

\frac{m + 1}{m + 2}