simplifica (m^2-2m+1)/(2m^2-m-1)

Os denominadores iniciais devem ser não nulos:

m \in ℝ \ {- \frac{1}{2}; 1}

1) Vamos simplificar:

\frac{m^{2} - 2 m + 1}{2 m^{2} - m - 1}

2) Vamos fatorizar em

ℝ

m^{2} - 2 m + 1

Podemos reescrever a expressão como:

{(m - 1)}^{2}

3) Vamos fatorizar em

ℝ

2 m^{2} - m - 1

Dada a forma quadrática

a m^{2} + b m + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 2

b = -1

c = -1

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-1)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

- 8 \cdot (-1)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

8

na reta numérica:

1 + 8

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

m_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

m_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

ⅰ

2 \cdot 2

4

m_{1} = \frac{1 - 3}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 3

-2

m_{1} = - \frac{2}{4}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

m_{1} = - \frac{1}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

m_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

m_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

ⅰ

2 \cdot 2

4

m_{2} = \frac{1 + 3}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 3

4

m_{2} = \frac{4}{4}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{4}

1

m_{2} = 1

Um trinómio de raízes

m_{1}

m_{2}

escreve-se

a \cdot (m - m_{1}) \cdot (m - m_{2})

; introduzindo o coeficiente nos parênteses, obtemos:

2 \cdot (m - 1) \cdot (m + \frac{1}{2})

(m - 1) \cdot (2 m + 1)

Fatores encontrados:

(m - 1) \cdot (2 m + 1)

Simplificamos a fração

\frac{{(m - 1)}^{2}}{m - 1}

pelo fator comum

m - 1

para obter a nova expressão:

m - 1

▶Forma simplificada:

\frac{m - 1}{2 m + 1}