simplifica (n^2-n-12)/(n^2-4n) — solução passo a passo

Os denominadores iniciais devem ser não nulos:

n \in ℝ \ {0; 4}

1) Vamos simplificar:

\frac{n^{2} - n - 12}{n^{2} - 4 n}

2) Vamos fatorizar em

ℝ

n^{2} - n - 12

Dada a forma quadrática

a n^{2} + b n + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -1

c = -12

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-12)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-12)

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

Δ = 1 + 48

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

48

na reta numérica:

1 + 48

49

Δ = 49

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

n_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

n_{1} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

n_{1} = \frac{1 - 7}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 7

-6

n_{1} = - \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{6}{2}

-3

n_{1} = -3

A fórmula resolvente do segundo grau dá

n_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

n_{2} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

n_{2} = \frac{1 + 7}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 7

8

n_{2} = \frac{8}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{2}

4

n_{2} = 4

Fatores encontrados:

(n + 3) \cdot (n - 4)

3) Vamos fatorizar em

ℝ

n^{2} - 4 n

Podemos fatorizar a expressão como:

n \cdot (n - 4)

ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{n^{2} - n - 12}{n^{2} - 4 n}

\frac{n + 3}{n}

\frac{n + 3}{n}

ⅰ

\frac{n + 3}{n}

1 + \frac{3}{n}

1 + \frac{3}{n}

▶Forma simplificada:

\frac{3}{n} + 1