soma de 8/(n^2-1) para n de 4 a +inf — solução passo a passo

1) Vamos avaliar:

\sum_{n = 4}^{+∞} \frac{8}{n^{2} - 1}

⇥1.1) Vamos fatorizar em

ℝ

n^{2} - 1

⇥Para

n^{2} - 1

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

n^{2} - 1^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = n

b = 1

⇥Fatores encontrados:

(n + 1) \cdot (n - 1)

⇥1.2) Podemos decompor em frações parciais:

⇥

\frac{8}{(n + 1) \cdot (n - 1)} = \frac{A}{n + 1} + \frac{B}{n - 1}

⇥Para o fator simples

n + 1

e a sua raiz

-1

, calculamos a incógnita A multiplicando pelo denominador

n^{2} - 1

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥1.3) Vamos resolver em

ℝ

(- 1 - 1) \cdot A = 8

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

- 1 - 1

-2

⇥

- 2 A = 8

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

-2

⇥

A = \frac{8}{-2}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{8}{-2}

- \frac{8}{2}

⇥

A = - \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{8}{2}

-4

⇥Solução encontrada:

A = -4

⇥Para o fator simples

n - 1

e a sua raiz

1

, calculamos a incógnita B multiplicando pelo denominador

n^{2} - 1

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥1.4) Vamos resolver em

ℝ

(1 + 1) \cdot B = 8

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 + 1

2

⇥

2 B = 8

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥

B = \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{2}

4

⇥Solução obtida:

B = 4

⇥1.5) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

⇥

\frac{8}{(n + 1) \cdot (n - 1)} = - \frac{4}{n + 1} + \frac{4}{n - 1}

A decomposição dá:

\frac{8}{n^{2} - 1} = \frac{4}{n - 1} - \frac{4}{n + 1}

2) Separamos a soma finita até

N

\sum_{n = 4}^{N} \frac{8}{n^{2} - 1} = \sum_{n = 4}^{N} \frac{4}{n - 1} - \sum_{n = 4}^{N} \frac{4}{n + 1}

Fazemos

k = n - 1

para o denominador

n - 1

k = n + 1

para o denominador

n + 1

\sum_{k = 3}^{N - 1} \frac{4}{k} - \sum_{k = 5}^{N + 1} \frac{4}{k}

Para

N \geq 6

, separamos os termos dos extremos:

(\frac{4}{3} + \frac{4}{4} + \sum_{k = 5}^{N - 1} \frac{4}{k}) - (\sum_{k = 5}^{N - 1} \frac{4}{k} + \frac{4}{N} + \frac{4}{N + 1})

As duas somas de

5

N - 1

são idênticas e anulam-se:

\frac{4}{3}

+ \frac{4}{4}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

3) Tomamos agora o limite quando

N \to +∞

⇥3.1) Primeiro, vamos simplificar:

\frac{4}{3}

+ \frac{4}{4}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

12

, o mínimo múltiplo comum de

3

4

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{4}{3} + \frac{4}{4}

\frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3}

\frac{4 \cdot 4 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 4}

⇥

\frac{4 \cdot 4 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 4} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 4

16

4 \cdot 3

12

⇥ⅰ

3 \cdot 4

12

⇥

\frac{16 + 12}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

16 + 12

28

⇥

\frac{28}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

⇥3.2) Vamos avaliar o limite de

\frac{28}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

quando

N \to +∞

⇥ⓘ Um número dividido por uma quantidade que se torna infinitamente grande tende para 0

⇥O limite de

- \frac{4}{N}

0

⁻ quando

N \to +∞

⇥ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites■Uma quantidade infinitamente grande mais uma quantidade finita ou limitada continua a ser infinitamente grande

⇥ O limite de

N + 1

+∞

quando

N \to +∞

⇥ⓘ Um número dividido por uma quantidade que se torna infinitamente grande tende para 0

⇥O limite de

- \frac{4}{N + 1}

0

⁻ quando

N \to +∞

⇥ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

⇥Portanto, o limite de

\frac{28}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

\frac{28}{12}

quando

N \to +∞

⇥Vamos avaliar:

\frac{28}{12}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

\frac{28}{12}

\frac{7 \cdot 4}{3 \cdot 4}

\frac{7}{3}

ⅰ

\sum_{n = 4}^{+∞} \frac{8}{n^{2} - 1}

\frac{7}{3}

▶Resultado:

\frac{7}{3}

4) O valor numérico de:

\frac{7}{3}

vale:

▷

\approx 2,3333