sqrt(x)(dy)/(dx)=e^{7y+sqrt(x)}

⚠ sqrt(x)(dy)/(dx)=e^{7y+sqrt(x)} é interpretado como sqrt(x)*y'=e^(7y+sqrt(x)): utilize dif(expression, variable) para uma derivada em relação a essa variável, utilize (numerador)/(denominador) para um quociente, utilize * para uma multiplicação, utilize ^ para uma potência, utilize ^(...) para agrupar um expoente

1) Vamos resolver a equação separável

\sqrt{x} \cdot y' = e^{7 y + \sqrt{x}}

, onde

y

é uma função de

x

Onde

\sqrt{x} \neq 0

, dividimos por

\sqrt{x}

para isolar

y'

y' = \frac{e^{7 y + \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

⇥1.1) Vamos procurar o domínio de

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

⇥ Para que a expressão

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

esteja definida, é necessário:

x > 0

⇥Solução obtida:

x > 0

A função de

x

está definida para

x > 0

ⓘ A exponencial de uma soma é o produto das exponenciais:

e^{7 y + \sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}} e^{7 y}

O segundo membro é o produto de

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

, que só depende de

x

, e de

e^{7 y}

, que só depende de

y

e^{7 y}

não se anula: separamos as variáveis,

\frac{dy}{e^{7 y}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \cdot dx

⇥1.2) Vamos calcular a integral:

\int \frac{1}{e^{7 y}} d y

⇥Para a expressão matemática

\frac{1}{e^{7 y}}

, sabendo que (1/a^n)' = -(n*ln(a))'/a^n, tentamos derivar

\frac{1}{e^{7 y}}

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d y} (\frac{1}{e^{7 y}})

⇥Para

p3

1

q4

e^{7 y}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d y} (\frac{p3}{q4}) = \frac{\frac{d}{d y} (p3) \cdot q4 - p3 \cdot \frac{d}{d y} (q4)}{{q4}^{2}}

⇥1.4) Vamos derivar

p3

\frac{d}{d y} (1)

⇥ⓘ Derivar uma constante dá zero:

\frac{d}{d y} (1)

0

⇥

0

⇥1.5) Vamos derivar

q4

\frac{d}{d y} (e^{7 y})

⇥Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d y} (\exp (f)) = \frac{d}{d y} (f) \cdot \exp (f)

com f =

7 y

⇥ⓘ A derivada de

\exp (y)

\exp (y)

\frac{d}{d y} (e^{7 y})

\frac{d}{d y} (7 y) \cdot e^{7 y}

⇥

\frac{d}{d y} (7 y) \cdot e^{7 y}

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d y} (7 y)

7

⇥

7 e^{7 y}

⇥1.6) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p3}{q4}

)':

\frac{0 \cdot e^{7 y} - 1 \cdot 7 e^{7 y}}{{(e^{7 y})}^{2}}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot e^{7 y}

0

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(e^{7 y})}^{2}

e^{7 y \cdot 2}

⇥

\frac{0 - 7 e^{7 y}}{e^{7 y \cdot 2}}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 7 e^{7 y}

- 7 e^{7 y}

⇥ⅰ

7 \cdot 2

14

⇥

- \frac{7 e^{7 y}}{e^{14 y}}

⇥ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

- \frac{7 e^{7 y}}{e^{14 y}}

-7 e^{7 y - 14 y}

⇥

-7 e^{7 y - 14 y}

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

7 y - 14 y

-7 y

⇥

- 7 e^{- 7 y}

⇥ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- 7 e^{- 7 y}

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥1.7) Depois continuamos a derivação:

⇥ⅰ

\frac{d}{d y} (\frac{1}{e^{7 y}})

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

⇥ⓘ A derivada de

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

\frac{1}{e^{7 y}}

, pelo que

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

é uma primitiva de

\frac{1}{e^{7 y}}

\int \frac{1}{e^{7 y}} d y

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

⇥

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

- \frac{1 \cdot 1}{7 e^{7 y}}

- \frac{1}{7 e^{7 y}}

⇥

- \frac{1}{7 e^{7 y}}

⇥1.8) Vamos integrar:

\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

⇥Para a expressão matemática

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

, sabendo que (exp(a))' = a'*exp(a), tentamos derivar

\exp (\sqrt{x})

⇥1.9) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\exp (\sqrt{x}))

⇥Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\exp (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \exp (f)

com f =

\sqrt{x}

⇥ⓘ A derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (\exp (\sqrt{x}))

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) \cdot \exp (\sqrt{x})

⇥

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) \cdot \exp (\sqrt{x})

⇥ⓘ A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

⇥

\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \exp (\sqrt{x})

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \exp (\sqrt{x})

\frac{1 \cdot \exp (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}

\frac{\exp (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}

⇥

\frac{\exp (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}

⇥A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

⇥ⓘ A derivada de

2 e^{\sqrt{x}}

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

, pelo que

2 e^{\sqrt{x}}

é uma primitiva de

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

2 e^{\sqrt{x}}

⇥

2 e^{\sqrt{x}}

Integrando ambos os membros, obtemos

- \frac{1}{7 e^{7 y}} = 2 e^{\sqrt{x}} + C

, onde

C

é uma constante real arbitrária

Multiplicamos por

-7

e renomeamos

- 7 C

como

C

e^{-7 y} = - 14 e^{\sqrt{x}} + C

Isolamos

y

-7 y = \ln (- 14 e^{\sqrt{x}} + C)

, de onde

y = - \frac{\ln (- 14 e^{\sqrt{x}} + C)}{7}

, onde

- 14 e^{\sqrt{x}} + C > 0

▶Solução:

y = - \frac{\ln (- 14 e^{\sqrt{x}} + C)}{7}