sum(8/(k^2-1),k=2,+inf) — solução passo a passo

1) Vamos calcular:

\sum_{k = 2}^{+∞} \frac{8}{k^{2} - 1}

⇥1.1) Vamos fatorizar em

ℝ

k^{2} - 1

⇥Para

k^{2} - 1

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

k^{2} - 1^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = k

b = 1

⇥Fatores encontrados:

(k + 1) \cdot (k - 1)

⇥1.2) Podemos decompor em frações parciais:

⇥

\frac{8}{(k + 1) \cdot (k - 1)} = \frac{A}{k + 1} + \frac{B}{k - 1}

⇥Para o fator simples

k + 1

e a sua raiz

-1

, calculamos a incógnita A multiplicando pelo denominador

k^{2} - 1

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥1.3) Vamos resolver em

ℝ

(- 1 - 1) \cdot A = 8

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

- 1 - 1

-2

⇥

- 2 A = 8

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

-2

⇥

A = \frac{8}{-2}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{8}{-2}

- \frac{8}{2}

⇥

A = - \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{8}{2}

-4

⇥Solução obtida:

A = -4

⇥Para o fator simples

k - 1

e a sua raiz

1

, calculamos a incógnita B multiplicando pelo denominador

k^{2} - 1

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥1.4) Vamos resolver em

ℝ

(1 + 1) \cdot B = 8

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 + 1

2

⇥

2 B = 8

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

⇥

B = \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{2}

4

⇥Solução obtida:

B = 4

⇥1.5) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

⇥

\frac{8}{(k + 1) \cdot (k - 1)} = - \frac{4}{k + 1} + \frac{4}{k - 1}

A decomposição dá:

\frac{8}{k^{2} - 1} = \frac{4}{k - 1} - \frac{4}{k + 1}

2) Separamos a soma finita até

N

\sum_{k = 2}^{N} \frac{8}{k^{2} - 1} = \sum_{k = 2}^{N} \frac{4}{k - 1} - \sum_{k = 2}^{N} \frac{4}{k + 1}

Fazemos

K = k - 1

para o denominador

k - 1

K = k + 1

para o denominador

k + 1

\sum_{K = 1}^{N - 1} \frac{4}{K} - \sum_{K = 3}^{N + 1} \frac{4}{K}

Para

N \geq 4

, separamos os termos dos extremos:

(4 + \frac{4}{2} + \sum_{K = 3}^{N - 1} \frac{4}{K}) - (\sum_{K = 3}^{N - 1} \frac{4}{K} + \frac{4}{N} + \frac{4}{N + 1})

As duas somas de

3

N - 1

são idênticas e anulam-se:

4

+ \frac{4}{2}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

3) Tomamos agora o limite quando

N \to +∞

Vamos avaliar o limite de

4

+ \frac{4}{2}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

quando

N \to +∞

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites■Um número dividido por uma quantidade que se torna infinitamente grande tende para 0

O limite de

- \frac{4}{N}

0

⁻ quando

N \to +∞

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites■Uma quantidade infinitamente grande mais uma quantidade finita ou limitada continua a ser infinitamente grande

O limite de

N + 1

+∞

quando

N \to +∞

ⓘ Um número dividido por uma quantidade que se torna infinitamente grande tende para 0

O limite de

- \frac{4}{N + 1}

0

⁻ quando

N \to +∞

ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

Portanto, o limite de

4

+ \frac{4}{2}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

4 + \frac{4}{2}

quando

N \to +∞

Vamos avaliar:

4 + \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

4 + 2

ⓘ Partimos de

4

e avançamos

2

na reta numérica:

4 + 2

6

ⅰ

\sum_{k = 2}^{+∞} \frac{8}{k^{2} - 1}

6

▶Resultado:

6