sum((1/2)^n,n=1,4) — solução passo a passo

1) Vamos calcular:

\sum_{n = 1}^{4} {(\frac{1}{2})}^{n}

Para

\sum_{k = a}^{b} c^{k + d}

, podemos utilizar a fórmula:

c^{a + d} \cdot \frac{c^{b - a + 1} - 1}{c - 1}

ⅰ

\sum_{n = 1}^{4} {(\frac{1}{2})}^{n}

\frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

\frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

\frac{1 \cdot ({(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1)}{2 \cdot (\frac{1}{2} - 1)}

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{2 \cdot (\frac{1}{2} - 1)}

■O expoente calcula-se antes da potência:

- 1 + 1

0

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} - 1

\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4 + 0} - 1}{2 \cdot \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

4 + 0

4

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

1 \cdot 2

2

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{2 \cdot \frac{1 - 2}{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{1 - 2}{2}

\frac{2 \cdot (1 - 2)}{2}

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 - 2

-1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

2 \cdot (-1)

-2

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{2}{2}}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{2}{2}}

- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{2}{2}}

- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{2}{2}}

ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{2}{2}}

\frac{- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1}{\frac{2}{2}}

\frac{- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1}{\frac{2}{2}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

\frac{- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1}{\frac{2}{2}}

(- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1) \cdot \frac{2}{2}

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

(- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1) \cdot 1

- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1

ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

- {(\frac{1}{2})}^{4}

- \frac{1}{2^{4}}

- \frac{1}{2^{4}} + 1

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{4}

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

- \frac{1}{16} + 1

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{1}{16} + 1

\frac{- 1 + 16}{16}

\frac{- 1 + 16}{16}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 + 16

15

▶Resultado:

\frac{15}{16}

2) O valor numérico de:

\frac{15}{16}

vale:

▷

0,9375