tangente de (64)/(x^2+16) em x=3 — solução passo a passo

Vamos verificar o domínio antes de calcular a tangente:

x \in ℝ

Vamos procurar a tangente em

x = 3

Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

\frac{64}{x^{2} + 16}

64 \cdot {(x^{2} + 16)}^{-1}

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (64 \cdot {(x^{2} + 16)}^{-1})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x^{2} + 16

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (64 \cdot {(x^{2} + 16)}^{-1})

64 \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 16)}^{-1})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 16)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2}

64 \cdot (-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2})

ⓘ Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

64 \cdot (-1)

-64

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 16)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

-64 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- 64 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2}

- \frac{64 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

- \frac{64 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

- \frac{64 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

ⅰ

64 \cdot 2

(60 + 4) \cdot 2

60 \cdot 2 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

- \frac{128 x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

Vamos calcular

f (3)

\frac{64}{3^{2} + 16}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

\frac{64}{9 + 16}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

9 + 16

25

\frac{64}{25}

O ponto de tangência é (

3

\frac{64}{25}

)

Vamos calcular

f^{'} (3)

- \frac{128 \cdot 3}{{(3^{2} + 16)}^{2}}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

ⅰ

128 \cdot 3

(100 + 20 + 8) \cdot 3

100 \cdot 3 + 20 \cdot 3 + 8 \cdot 3

300 + 60 + 24

384

- \frac{384}{{(9 + 16)}^{2}}

ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

9 + 16

25

- \frac{384}{25^{2}}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

25^{2}

25 \cdot 25

625

- \frac{384}{625}

O declive é

f^{'} (3)

- \frac{384}{625}

A tangente passa por este ponto com este declive:

y = - \frac{384}{625} \cdot (x - 3) + \frac{64}{25}

Vamos calcular a ordenada na origem:

b = \frac{64}{25} - (- \frac{384}{625} \cdot 3)

\frac{64}{25} - (- \frac{384}{625} \cdot 3)

ⓘ Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- (- \frac{384}{625} \cdot 3)

\frac{384}{625} \cdot 3

\frac{64}{25} + \frac{384}{625} \cdot 3

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{384}{625} \cdot 3

\frac{384 \cdot 3}{625}

\frac{1152}{625}

\frac{64}{25} + \frac{1152}{625}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

625

, o mínimo múltiplo comum de

25

625

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{64}{25} + \frac{1152}{625}

\frac{64 \cdot 25}{25 \cdot 25} + \frac{1152}{625}

\frac{64 \cdot 25 + 1152}{625}

\frac{64 \cdot 25 + 1152}{625}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

64 \cdot 25

64 \cdot (20 + 5)

64 \cdot 20 + 64 \cdot 5

1280 + 320

1600

\frac{1600 + 1152}{625}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1600 + 1152

2752

\frac{2752}{625}

y = - \frac{384}{625} \cdot x + \frac{2752}{625}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{384}{625} \cdot x

\frac{384 x}{625}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{384 x}{625} + \frac{2752}{625}

\frac{- 384 x + 2752}{625}

▶Tangente:

y = \frac{- 384 x + 2752}{625}