tangente de (x-2)(x^2+4) — solução passo a passo

⚠ (x-2)(x^2+4) é interpretado como (x-2)*(x^2+4): utilize (...)*(...) para uma multiplicação, utilize (...)^(...) para uma potência

Não foi indicada uma abcissa: vamos procurar a tangente no ponto geral

x = a

, para

a

real

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8)

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (4 x)

+ 0

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (4 x)

+ 0

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (4 x)

4

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (4 x)

3 x^{2} - 2 \cdot 2 x + 4

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

3 x^{2} - 4 x + 4

Vamos calcular

f (a)

O ponto de tangência é (

a

a^{3}

- 2 a^{2}

+ 4 a

- 8

)

Vamos calcular

f^{'} (a)

O declive é

f^{'} (a)

3 a^{2} - 4 a + 4

A tangente passa por este ponto com este declive:

y = (3 a^{2} - 4 a + 4) \cdot (x - a) + (a^{3}

- 2 a^{2}

+ 4 a

- 8)

Vamos calcular a ordenada na origem:

b = (a^{3}

- 2 a^{2}

+ 4 a

- 8) - (3 a^{2} - 4 a + 4) \cdot a

(a^{3}

- 2 a^{2}

+ 4 a

- 8) - (3 a^{2} - 4 a + 4) \cdot a

a^{3}

- 2 a^{2}

+ 4 a

- 8

- (3 a^{2} - 4 a + 4) \cdot a

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (3 a^{2} - 4 a + 4) \cdot a

- (3 a^{3} - 4 a^{2} + 4 a)

a^{3}

- 2 a^{2}

+ 4 a

- 8

- (3 a^{3} - 4 a^{2} + 4 a)

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (3 a^{3} - 4 a^{2} + 4 a)

- 3 a^{3} + 4 a^{2} - 4 a

a^{3}

- 2 a^{2}

+ 4 a

- 8

- 3 a^{3}

+ 4 a^{2}

- 4 a

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

a^{3} - 3 a^{3}

-2 a^{3}

- 2 a^{2} + 4 a^{2}

2 a^{2}

4 a - 4 a

0

- 2 a^{3}

+ 2 a^{2}

+ 0

- 8

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 8

-8

- 2 a^{3} + 2 a^{2} - 8

y = (3 a^{2} - 4 a + 4) \cdot x + (- 2 a^{3} + 2 a^{2} - 8)

▶Tangente:

y = (3 a^{2} - 4 a + 4) \cdot x

- 2 a^{3}

+ 2 a^{2}

- 8